Ограниченность

Ограниченность в математике — свойство множеств, указывающее на конечность размера в контексте, определяемом категорией пространства.

Шаблон:ЯкорьИсходное понятие — ограниченное числовое множество, таковым является множество вещественных чисел $B\subset ℝ$, для которого существуют числа $m,M\in ℝ$ такие, что для любого $x$ из $B$ имеет место: $m⩽x⩽M$, иными словами, $B$ целиком лежит в отрезке $[m,M]$. Числа $m$ и $M$ называются в этом случае нижней и верхней границей множества $X$ соответственно. Если существует только нижняя или верхняя граница, то говорят об ограниченном снизу или ограниченном сверху множестве соответственно.

Ограниченное сверху числовое множество обладает точной верхней гранью, ограниченное снизу — точной нижней гранью (теорема о гранях). Конечное множество точек, интервал числовой оси $[a,b]$ (где $a,b$ — конечные числа), конечное объединение ограниченных множеств — ограниченные множества; множество целых чисел $\mathbb{Z}$ — неограниченно; множество $\mathbb{N}$ натуральных чисел с точки зрения системы вещественных чисел — ограниченно снизу и неограниченно сверху.

Шаблон:ЯкорьОграниченная числовая функция — функция $f:D\to ℝ$, область значений которой $f(D)$ ограниченна, то есть существует такое $m$, что для всех $x$ имеет место неравенство $|f(x)|⩽m$. В частности, ограниченная числовая последовательность — последовательность $(a_i)$, для которой существует $m\in ℝ$ такое, что для всех $i\in \mathbb{N}$ выполнено $|a_i|⩽m$.

Обобщения

Шаблон:ЯкорьОбобщения числовой ограниченности на более общие категории пространств могут различаться. Так, на подмножества произвольных частично упорядоченных множествах числовое определение переносится естественным образом (поскольку для определения требуется только отношение порядка).

Шаблон:ЯкорьВ топологическом векторном пространстве $E$ над полем $k$ ограниченным считается всякое множество $B$, поглощаемое любой окрестностью нуля, то есть если существует такое $\alpha \in k$, что $B\subset \alpha U_0$. Ограниченный оператор на топологических векторных пространствах переводит ограниченные множества в ограниченные.

Шаблон:ЯкорьВ случае произвольного метрического пространства $(M,d)$ ограниченными считаются множества конечного диаметра, то есть $B\subseteq M$ ограниченно, если $\mathrm{s}\mathrm{u}\mathrm{p}\{d(x,y)\mid x,y\in B\}$ конечно. При этом ввести понятия ограниченности сверху и снизу в общих метрических пространствах невозможно.

Более специальное понятие, распространяющееся на произвольные метрические пространства — вполне ограниченность; в случае числовых множеств и в евклидовых пространствах это понятие совпадает с соответствующими понятиями ограниченного множества. В метрических пространствах топологическая компактность эквивалентна одновременной вполне ограниченности и полноте, и, хотя на произвольные топологические пространства понятие ограниченности не распространяется, компактность в общем случае можно считать некоторым аналогом ограниченности.

Литература

• Шаблон:Из