Гельмгольциан

Гельмгольциа́н — в гидродинамике векторный (преобразующий векторное поле в векторное поле) линейный дифференциальный оператор, определяемый для движущейся жидкости или газа. Гельмгольциан обозначается символом $\mathrm{helm}$. Гельмгольциан над векторным полем $𝐀$ определяется формулой

$\mathrm{helm}𝐀\equiv \frac{\partial 𝐀}{\partial t}+(v\cdot \mathrm{\nabla })𝐀-(𝐀\cdot \mathrm{\nabla })v+𝐀(\mathrm{\nabla }\cdot v)$,

где $𝐯$ — вектор скорости потока жидкости или газа, $\mathrm{\nabla }$ — оператор набла.

Оператор гельмгольциан внедрён в обиход Александром Александровичем Фридманом, и назван в честь Германа Гельмгольца.

Гидродинамический смысл гельмгольциана заключается в том, что равенство $\mathrm{helm}𝐀=0$ означает «вмороженность» векторного поля $𝐀$ в движущуюся жидкость, понимаемую в том смысле, что каждая векторная линия этого поля (то есть линия, касательная к которой в любой её точке имеет направление вектора $𝐀$ в этой точке) сохраняется, то есть всё время состоит из одних и тех же частиц жидкости, а интенсивность векторных трубок (стенки которых состоят из векторных линий), то есть потоки $\underset{\sigma }{\int }(𝐀\cdot d\mathit{\sigma })$ вектора $𝐀$ через любые сечения $\mathit{\sigma }$ этих трубок, не меняются со временем. Гельмгольциан используется в геофизической гидродинамике, магнитной гидродинамике.

См. также

• Уравнение вихря