Векторный оператор Лапласа

Ве́кторный опера́тор Лапла́са (или ве́кторный лапласиа́н) — это векторный дифференциальный оператор второго порядка, определённый над векторным полем и обозначаемый символом $\mathrm{\Delta }$Шаблон:Sfn, аналогичный скалярному оператору Лапласа. Векторный оператор Лапласа действует на векторное поле и имеет векторное значение, тогда как скалярный лапласиан действует на скалярное поле и имеет скалярное значение. При вычислении в декартовых координатах получаемое векторное поле эквивалентно векторному полю скалярного лапласиана, действующего на отдельные компоненты исходного вектора.

Поскольку векторный и скалярный лапласианы обозначаются одним и тем же символом, большой греческой буквой дельта, но являются разными математическими объектами, в рамках данной статьи векторный лапласиан обозначается черным цветом, а скалярный лапласиан — синим.

Определение

Векторный оператор Лапласа векторного поля $𝐀$ определяется следующим образом:

• Через оператор набла:

$\mathrm{\Delta }𝐀=\mathrm{\nabla }(\mathrm{\nabla }\cdot 𝐀)-\mathrm{\nabla }\times (\mathrm{\nabla }\times 𝐀)$ .

• Через градиент, дивергенцию и ротор:

$\mathrm{\Delta }𝐀=\mathrm{g}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{d}(\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{v}𝐀)-\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}(\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}𝐀)$.

В декартовых координатах векторный лапласиан векторного поля $𝐀$ можно представить в виде вектора, компонентами которого являются скалярные лапласианы компонент векторного поля $𝐀$:

$\mathrm{\Delta }𝐀=\{\mathrm{\Delta }{A}_x,\mathrm{\Delta }{A}_y,\mathrm{\Delta }{A}_z\}$ Шаблон:Sfn,

где $A_x$, $A_y$, $A_z$ — компоненты векторного поля $𝐀$.

Выражения для векторного оператора Лапласа в других системах координат можно найти в статье «Оператор набла в различных системах координат».

Обобщение

Шаблон:Ориссный раздел Лапласиан любого тензорного поля $𝐓$ (скаляры и векторы являются частными случаями тензоров) определяется как дивергенция градиента тензора:

$\mathrm{\Delta }𝐓=\mathrm{\nabla }\cdot (\mathrm{\nabla }𝐓)$.

В случае если $𝐓$ — это скаляр (тензор нулевого порядка), оператор Лапласа принимает привычную форму.

Если $𝐓$ — это вектор (тензор первого порядка), то его градиент это ковариантная производная, которая является тензором второго порядка, а его дивергенция — это снова вектор. Формула для векторного лапласиана может быть представлена как дивергенция выражения для градиента вектора:

$\mathrm{\nabla }𝐓=\{\mathrm{\nabla }{T}_x,\mathrm{\nabla }{T}_y,\mathrm{\nabla }{T}_z\}=\left[\begin{array}{ccc}{T}_{xx}& T_{xy}& T_{xz}\\ T_{yx}& T_{yy}& T_{yz}\\ T_{zx}& T_{zy}& T_{zz}\end{array}\right]$,

где $T_{uv}\equiv \frac{\partial T_v}{\partial u}$ (общий вид компоненты тензора), $u$ и $v$ могут принимать значения из множества $\{x,y,z\}$.

Аналогично, скалярное произведение вектора на градиент другого вектора (тензор второго порядка), значением которого является вектор, может быть рассмотрено как произведение матриц:

$𝐀\cdot \mathrm{\nabla }𝐁=\left[\begin{array}{ccc}{A}_x& A_y& A_z\end{array}\right]\mathrm{\nabla }𝐁=\left[\begin{array}{ccc}𝐀\cdot \mathrm{\nabla }{B}_x& 𝐀\cdot \mathrm{\nabla }{B}_y& 𝐀\cdot \mathrm{\nabla }{B}_z\end{array}\right]$.

Данное выражение зависит от системы координат.

Использование в физике

Примером использования векторного оператора Лапласа являются уравнения Навье — Стокса для вязкой несжимаемой жидкостиШаблон:Sfn:

$\rho (\frac{\partial 𝐯}{\partial t}+(𝐯\cdot \mathrm{\nabla })𝐯)=\rho 𝐟-\mathrm{\nabla }p+\mu \left(\mathrm{\Delta }𝐯\right)$,

где слагаемое с векторным оператором Лапласа от поля скоростей $\mu \left(\mathrm{\Delta }𝐯\right)$ представляет собой вязкость жидкости.

Литература

• Шаблон:Книга