Квадратриса

Квадратри́са — плоская трансцендентная кривая, определяемая кинематически. Была предложена в античные времена (V веке Шаблон:Донэ) для решения задач квадратуры круга и трисекции угла. Квадратриса стала первой в математике трансцендентной кривой.

Файл:Quadratrix trisection.png

Рис. 1. Кинематическое определение квадратрисы

Рис. 2. То же с анимацией

Определение

Кинематическое определение квадратрисы следующее: рассмотрим квадрат $ABCD$ (рис. 1), в который вписан сектор четверти круга. Пусть точка $E$ равномерно движется по дуге от точки $D$ до точки $B$; одновременно отрезок $A^{\prime }{B}^{\prime }$ равномерно движется из положения $DC$ в положение $AB$. Наконец, потребуем, чтобы оба движения начались и закончились одновременно. Тогда точка пересечения радиуса $AE$ и отрезка $A^{\prime }{B}^{\prime }$ опишет квадратрису (см. рисунки 1 и 2, выделена красным цветом).

Античные математики предубеждённо относились к кинематическим определениям кривых, считая их недостойными геометрической науки. Поэтому они предложили два других определения, не использующих понятия механического движения; эти определения приведены в сочинениях Паппа Александрийского и представляют квадратрису как проекцию некоторых кривых, связанных с винтовой линией или спиралью АрхимедаШаблон:Sfn. Построения эти довольно сложны и на практике не используются.

В Новое время были обнаружены и другие построения, где возникает квадратриса; например, рассмотрим пересечение витка геликоида с плоскостью, содержащей ось этой поверхности. Тогда проекция линии пересечения на плоскость, перпендикулярную оси, представляет собой ветку квадратрисы. Шаблон:Clear

История

Первое упоминание о квадратрисе сделали Папп Александрийский и Ямвлих в конце III века. Папп дал и подробное описание способов её построения. Кривая открыта, по сообщению Прокла Диадоха, софистом Гиппием в V веке Шаблон:Донэ и использовалась им для решения задачи трисекции угла. Другой античный геометр, Динострат, провёл в IV веке Шаблон:Донэ исследование этой кривой и показал, что она обеспечивает также решение задачи квадратуры круга. В источниках данную кривую называют «квадратрисой Динострата» или «квадратрисой Гиппия»Шаблон:Sfn.

Папп пишет, что математик III века Спор Никейский выдвинул два серьёзных возражения против использования квадратрисы для квадратуры круга, с которыми Папп полностью согласенШаблон:Sfn:

1. Невозможно точно согласовать движение отрезков ВС и АВ, если не знать заранее отношение длины дуги четверти окружности к радиусу, поэтому получается порочный круг.
2. Точку К построить нельзя, потому что в соответствующий момент времени отрезок и радиус совпадают. В современной терминологии, точка К есть предел точек квадратрисы — понятие, чуждое античной математике.

В Новое время кривую исследовали Роберваль (1636), Ферма, Барроу (1670) и другие известные математики. Декарт посвятил исследованию квадратрисы немало страниц в своей «Геометрии» (1637)Шаблон:Sfn. Ньютон в 1676 году определил длину дуги квадратрисы, её кривизну и площадь её сегмента в виде ряда, а также указал способ проведения касательных.

Уравнения кривой

• В полярных координатах:

$\rho =\frac{2R}{\pi }\frac{\phi }{\sin \phi }.$

Вывод

Пусть $R$ — радиус круга, $\phi$ — текущий угол $FAG$, $\rho =AF$ — полярный радиус. Для удобства введём время $t$, которое за период движения меняется от 0 до 1. Тогда равномерное движение точки $E$ по дуге длиной $\frac{\pi }{2}$ можно выразить уравнением: $\phi =\frac{\pi }{2}\cdot (1-t).$ Равномерное движение отрезка $A^{\prime }{B}^{\prime }$ выражается уравнением: $A^{\prime }A=\rho \sin \phi =(1-t)R$ Подставляя значение $1-t$ из первого уравнения во второе, получаем окончательно: $\rho =\frac{2R\phi }{\pi \sin \phi }.$

• В прямоугольных координатах:

$x=y\mathrm{ctg}\frac{\pi y}{2R}$

Вывод

Приводим уравнение в полярных координатах к виду: $\rho \sin \phi =\frac{2R}{\pi }\phi$ Учитывая $\rho \sin \phi =y$, получаем $y=\frac{2R}{\pi }\phi$ Из геометрических соображений: $\phi =\mathrm{arctg}\frac{y}{x}$. Тогда уравнение предстанет в виде: $\frac{\pi y}{2R}=\mathrm{arctg}\frac{y}{x}$ Берём тангенс от обеих частей: $\mathrm{tg}\frac{\pi y}{2R}=\frac{y}{x}$ то есть $x=y\mathrm{ctg}\frac{\pi y}{2R}$

Основное свойство

Уравнение квадратрисы в полярных координатах можно записать в виде:

$\rho \sin \phi =\frac{2R}{\pi }\phi ,$ или: $y=k\phi ,$ где $k=\frac{2R}{\pi }.$

Отсюда следует основное свойство данной кривойШаблон:Sfn: Шаблон:Рамка Ординаты любых двух точек квадратрисы относятся, как полярные углы этих точек: $\frac{y_1}{y_2}=\frac{{\phi }_1}{{\phi }_2}.$ Шаблон:Конец рамки Квадратриса — единственная (невырожденная) кривая в первом координатном квадранте, обладающая таким свойством (это легко доказать, повторив приведённые рассуждения в обратном порядке).

Другие свойства

Площадь сегмента $ADFG$ квадратрисы определяется формулойШаблон:Sfn:

$S=\frac{2R^2\ln 2}{\pi }$

Применение

Трисекция угла

Трисекция угла, то есть деление произвольного угла на три равные части, с помощью квадратрисы проводится элементарно. Пусть $EAB$ (рис. 1) — некоторый угол, треть которого надо построить. Алгоритм деления следующий:

1. Находим точку $F$ на квадратрисе и её ординату $A^{\prime }$.
2. Откладываем на отрезке $A{A}^{\prime }$ его третью часть; получим некоторую точку $H$.
3. Находим на квадратрисе точку $K$ с ординатой $H$.
4. Проводим луч $AK$. Угол $KAB$ — искомый.

Доказательство данного алгоритма сразу следует из основного свойства квадратрисы. Очевидно также, что аналогичным способом можно разделить угол не только на три, но и на любое другое число частейШаблон:Sfn.

Квадратура круга

Рис. 3. Схема квадратуры круга с помощью квадратрисы

Задача квадратуры круга ставится так: построить квадрат с такой же площадью, как у заданного круга радиуса $R$. Алгебраически это означает решение уравнения: $x^2=\pi R^2$.

Построим для исходного круга квадратрису, как на рис. 1. Используя первый замечательный предел, получаем, что абсцисса $AG$ её нижней точки (на рис. 3 это отрезок $AJ$) равна $\frac{2R}{\pi }$. Выразим это в виде пропорции: $C:2R=2R:AG$, где $C=2\pi R$ — длина окружности. Приведённое соотношение позволяет построить отрезок длины $C$. Прямоугольник со сторонами $R$ и $C/2$ будет иметь нужную площадь, а построить равновеликий ему квадрат — дело несложное, см. статью Квадратура (математика) или рис. 3.

Вариации

Помимо рассмотренной выше квадратрисы Динострата, существует ряд иных кривых, которые можно использовать для квадратуры круга, и поэтому также называемых квадратрисами.

• Квадратриса Чирнгауза (или Чирнгаузена), аффинная обычной синусоиде:

$y=a\sin \frac{\pi x}{2a}$

• Квадратриса Озанама:

$x=2a{\sin }^2\frac{y}{2a}$

• Кохлеоида с полярным уравнением $\rho =a\frac{\sin \phi }{\phi }$.

Рис. 4. График «полной» квадратрисы при R=1

Кроме того, ряд авторов предпочитают поменять местами x и y в уравнении квадратрисы ДиностратаШаблон:Sfn:

$y=x\mathrm{ctg}\frac{\pi x}{2R}$

Этот вариант (полная квадратриса) имеет то преимущество, что функция $y(x)$ определена на всей вещественной оси, кроме особых точек $\pm 2R,\pm 4R,\pm 6R\dots$ (В точке $x=0$ функция $y(x)$ доопределяется предельным переходом; см. её график при $R=1$ на рис. 4.) В полярных координатах центральная ветка данного варианта кривой описывается формулой:

$\rho =\frac{R}{\pi }\cdot \frac{\pi -2\phi }{\cos \phi }$

Данная кривая имеет бесконечное число ветвей, для которых вертикальные прямые в особых точках являются асимптотами. Точки кривой с ординатой $y=\frac{2R}{\pi }$ (за исключением точки на оси ординат) являются точками перегиба.

Литература

• Жуков А. В. «О числе π» Шаблон:Wayback. М.: МЦНМО, 2002 г., 32 с ISBN 5-94057-030-5
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Прошлецова И. Л. О квадратрисе Динострата // Историко-математические исследования. СПб.: Изд-во Международного фонда истории науки. Вып. 35 (1994). С. 220—229.
• Шаблон:Книга Переиздана в 2002 году, ISBN 5-93972-125-7.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья

Ссылки

• Quadratrix of Hippias Шаблон:Wayback at the MacTutor archive. Шаблон:Ref-en
• Quadratrix of Hippias at Convergence. Шаблон:Ref-en