Функция Дирихле

Графическое представление функции Дирихле: две параллельные и, казалось бы, сплошные линии. Синяя (или красная) линия представляет собой рациональные (или иррациональные) числа, плотно расположенные в вещественных числах

Функция Дирихле́ — функция, принимающая значение единица на рациональных числах и ноль — на иррациональных, стандартный пример всюду разрывной функции. Введена в 1829 году немецким математиком Дирихле.Шаблон:Sfn

Определение

Символически, функция Дирихле $D:ℝ\to \{0,1\}$ определяется следующим образом:Шаблон:Sfn

$D(x)=\{\begin{array}{cc}1,& x\in \mathbb{Q};\\ 0,& x\in 𝕀.\end{array}$

Свойства

Принадлежит второму классу Бэра, то есть её нельзя представить как (поточечный) предел последовательности непрерывных функций, но можно представить как повторный предел последовательности непрерывных функцийШаблон:SfnШаблон:Sfn:

$D(x)=\underset{m\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\cos }^{2n}(m!\pi x)$.

Каждая точка в области определения является точкой разрыва второго рода (причём существенного).Шаблон:Sfn

Является периодической функцией, её периодом является любое рациональное число, не равное нулю; основного периода функция не имеет.Шаблон:Sfn

Не является интегрируемой в смысле Римана.Шаблон:Sfn Простая функция; измерима по отношению к мере Лебега; интеграл Лебега от функции Дирихле на любом числовом промежутке равен нулю, это следует из того, что мера Лебега множества рациональных чисел равна нулю.

Вариации и обобщения

Вариацией функции Дирихле является функция Римана, называемая также, «функцией Тома» (Thomae).

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Dirichlet Function — from MathWorld