Сходимость по Чезаро

Сходимость по Чезаро — обобщение понятия сходимости числовых и функциональных рядов, введённое итальянским математиком Эрнесто Чезаро. Фактически существует целое семейство определений, зависящих от параметра k. Сначала сходимость была определена Чезаро для целых положительных значений параметра k и применена ко множеству рядов. Позднее понятие сходимости по Чезаро было расширено на произвольные значения k, в том числе и на комплексные. Методы нахождения суммы по Чезаро имеют многочисленные приложения: при умножении рядов, в теории рядов Фурье и других вопросах.

Определение

Ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ называется сходящимся по Чезаро порядка k или (C, k)-сходящимся с суммой S, если

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{A_n^k}{E_n^k}=S,$

где $A_n,E_n$ определяются как коэффициенты разложения

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{A}_n^{\alpha }{x}^n=\frac{\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n}{(1-x{)}^{1+\alpha }},$

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{E}_n^{\alpha }{x}^n=(1-x{)}^{-1-\alpha }.$

Свойства

При k = 0 сходимость по Чезаро является обычной сходимостью ряда, при k = 1 ряд является сходящимся с суммой S, если $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{1}{n}\sum _{j=1}^n{s}_j=S,$ где $s_j=a_1+\dots +a_j$ — частичные суммы ряда.

Методы (C, k) нахождения суммы ряда являются полностью регулярными при $k⩾0$ и не являются регулярными при $k<0$. Сила метода возрастает с увеличением k: если ряд является сходящимся для k, то он является сходящимся с той же суммой для k´ при k´ > k > −1.

При k < −1 это свойство не сохраняется.

Если ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ является (C, k)-сходящимся, то $a_n=o(n^k)$.

Сходимость по Чезаро (C, k) равносильна и совместима со сходимостью Гёльдера (H, k) и Риса (R, n, k) (при k > 0). При любом k > −1 метод (C, k) слабее метода Абеля.

Пример

Пусть a_n = (−1)ⁿ⁺¹ для n ⩾ 1. То есть, {a_n} является последовательностью

$1,-1,1,-1,\dots .$

Последовательность частичных сумм {s_n} имеет вид

$1,0,1,0,\dots ,$

и очевидно, что данный ряд не сходится в привычном понимании. Зато членами последовательности {(s₁ + … + s_n)/n} являются

$\frac{1}{1},\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{2}{4},\frac{3}{5},\frac{3}{6},\frac{4}{7},\frac{4}{8},\dots ,$

и в общей сложности

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{s_1+\dots +s_n}{n}=1/2.$

Поэтому ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$ является сходящимся по Чезаро с параметром 1 и его сумма равна 1/2.

См. также

• Сходимость по Борелю
• Сходимость по Пуассону — Абелю
• Сходимость по Эйлеру
• 1 − 2 + 3 − 4 + …
• Чезаровское среднее

Ссылки

• Шаблон:PlanetMath

Литература

• Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. Том 5 — М.: Наука, 1985
• Барон С. А., Введение в теорию суммируемости рядов, 2 изд., Таллин, 1977.
• Зигмунд А., Тригонометрические ряды, пер. с англ., т.1, М., 1965;
• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
• Xapди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951;
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .