Сходимость по Борелю

Сходимость по Борелю — обобщение понятия сходимости ряда, предложенное французским математиком Эмилем Борелем. Существует два неэквивалентных определения, которые связывают с именем Бореля.

Определение

• Пусть дан числовой ряд $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$ Ряд называется сходящимся по Борелю (или B-сходящимся), если существует предел:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{e}^{-x}\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{x^k}{k!}{S}_k=S,$ где S_k — частичные суммы ряда. Число S тогда называется борелевской суммой ряда.

• Пусть дан числовой ряд $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$ Ряд называется сходящимся по Борелю (или B^'-сходящимся), если существует интеграл:

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt{e}^{-t}\sum _n\frac{a_n}{n!}{t}^n=S$

Пример

Рассмотрим ряд $\sum _0^{\mathrm{\infty }}n!x^n.$ Данный ряд является расходящимся для произвольного $x\ne 0.$ Однако по интегральным определениям сходимости по Борелю имеем:

$\sum _0^{\mathrm{\infty }}n!x^n=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt{e}^{-t}\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(xt{)}^n=\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dt\frac{e^{-t}}{1-xt},$

и сумма является определённой для отрицательных значений x.

Свойства

Пусть функция:

$f(z)=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k$

регулярна в нуле и С — множество всех её особенных точек. Через каждую точку $P\in C$ проведём отрезок $OP$ и прямую $L_p,$, которая проходит через точку Р перпендикулярно к $OP$. Множество точек, лежащих по одну сторону с нулём к каждой из прямых $L_p,$ обозначим $\mathrm{\Pi }$. Тогда граница $\mathrm{\Gamma }$ области $\mathrm{\Pi }$ называется многоугольником Бореля функции f(z), а область $\mathrm{\Pi }$ её внутренней областью. Справедлива теорема: ряд

$\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{z}^k$

является B-сходящимся в области $\mathrm{\Pi }$ и не является B-сходящимся в области ${\mathrm{\Pi }}^{*}$ — дополнены до $\mathrm{\Pi }$ .

См. также

• Сходимость по Чезаро
• Сходимость по Пуассону — Абелю
• Сходимость по Эйлеру

Ссылки

• Borel summation method, in Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1556080104
• Borel Summation

Литература

• Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Том 2. — Изд. 6-является, стереотипное. — М.: Наука, 1966
• Xарди Г., Расходящиеся ряды, пер. с англ., М., 1951.
• Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel’s Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .