Признак Дини

Признак Ди́ни — признак поточечной сходимости ряда Фурье. Несмотря на то, что ряд Фурье функции из $L_2([-\pi ,\pi ])$ сходится к ней в смысле $L_2$-нормы, он вовсе не обязан сходиться к ней поточечно (даже в случае непрерывной функции). Тем не менее при некоторых дополнительных условиях (например, в случае, когда функция гладкая или хотя бы удовлетворяет условию Гёльдера или Липшица с каким-нибудь положительным показателем) поточечная сходимость всё же имеет место.

Сходимость ряда Фурье в конкретной точке является локальным свойством функции: если две функции совпадают в некоторой окрестности точки $t$, то их ряды Фурье в этой точке сходятся или расходятся одновременно.

Признак Дини устанавливает весьма общее условие такой сходимости. Назван в честь итальянского математика Улисса Ди́ни.

Признак Дини

Положим для $\delta >0$

${\omega }_f(t,\delta )=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{s:|s-t|⩽\delta }|f(t)-f(s)|$.

(модуль непрерывности функции $f$ в точке $t$).

Если функция $f$ удовлетворяет условию

$\underset{0+}{\int }\mathrm{\backslash limits}\frac{{\omega }_f(t,\delta )d\delta }{\delta }<+\mathrm{\infty }$,

то её ряд Фурье в точке $t$ сходится к $f(t)$ .

---

Замечание. Условия признака Дини выполняются, в частности, при

${\omega }_f(t,\delta )⩽C{\left(\frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{1}{\delta }}\right)}^{\gamma },$

где $\gamma >1$ (Это гораздо более слабое условие, чем любое условие Гёльдера). Взять $\gamma =1$ нельзя.

Модифицированный признак Дини

Справедлива также модификация признака Дини для случая, когда функция $f$ имеет разрыв в точке $t$, но тем не менее её сужения на промежутки $(t-\epsilon ,t)$ и $(t,t+\epsilon )$ могут быть продолжены до функций, удовлетворяющих признаку Дини.

Пусть $f_{+},f_{-}$ — некоторые числа. Положим для $\delta >0$

${\omega }_{f,f_{+}}^{+}(t,\delta ):=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{s\in (t,t+\delta )}|f(s)-f_{+}|$,

${\omega }_{f,f_{-}}^{-}(t,\delta ):=\sup {\mathrm{\backslash limits}}_{s\in (t-\delta ,t)}|f(s)-f_{-}|$.

Если числа $f_{+}$, $f_{-}$ и функция $f$ таковы, что

$\underset{0+}{\int }\mathrm{\backslash limits}\frac{{\omega }_{f,f_{+}}^{+}(t,\delta )d\delta }{\delta }<+\mathrm{\infty }$,

$\underset{0+}{\int }\mathrm{\backslash limits}\frac{{\omega }_{f,f_{-}}^{-}(t,\delta )d\delta }{\delta }<+\mathrm{\infty }$,

то ряд Фурье функции $f$ в точке $t$ сходится к $\frac{f_{+}+f_{-}}{2}$.

Признак Дини — Липшица

Если модуль непрерывности функции $f$ в точке $t$ удовлетворяет условию

${\omega }_f(t,\delta )=o\left(\frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{1}{\delta }}\right)$,

то ряд Фурье функции $f$ в точке $t$ сходится к $f(t)$

Точность признаков Дини и Дини — Липшица

Если возрастающая неотрицательная функция $\mathrm{\Omega }$ такова, что

$\underset{0+}{\int }\mathrm{\backslash limits}\frac{\mathrm{\Omega }(\delta )d\delta }{\delta }=+\mathrm{\infty }$,

то существует функция $f$, такая, что

${\omega }_f(t,\delta )⩽\mathrm{\Omega }(\delta )$

при всех достаточно маленьких $\delta$, и ряд Фурье функции $f$ расходится в точке $t$.

Существует функция $f$ с расходящимся в нуле рядом Фурье, удовлетворяющая условию

${\omega }_f(0,\delta )=O\left(\frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}\frac{1}{\delta }}\right)$,

Пример применения признака Дини: сумма обратных квадратов

Рассмотрим периодическое продолжение функции $x^2$ с промежутка $[-\pi ,\pi )$:

$f(x)={\left(\pi \left\{\frac{x}{\pi }\right\}\right)}^2,$

где фигурные скобки означают дробную часть числа. Несложно найти разложение этой функции в ряд Фурье:

$f(x)\sim \frac{{\pi }^2}{3}+4\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^2}\cos nx$

Подставляя $x=0$ и $x=\pi$, и пользуясь для обоснования поточечной сходимости соответственно обычным и модифицированным признаком Дини, получаем равенства:

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^{n-1}}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{12}$

и

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$.

См. также

• Теорема Дини