Теорема полноты

Шаблон:Плохое оформление Теорема полноты — утверждение о свойствах представлений конечных групп о том, что любую функцию на конечной группе можно разложить по элементам матрицы неприводимых представлений этой группы. Коэффициенты этого разложения называются коэффициентами Фурье по аналогии с теорией тригонометрических рядов. Играет важную роль при применении методов теории групп в физикеШаблон:Sfn.

Формулировка

Любую функцию $F(h)$ на конечной группе $G$ можно разложить по матричным элементам неприводимых представлений:

$F(h)=\sum _{i=1}^{\sigma }\sum _{m,n=1}^{s_i}{C}_{mn}^{(i)}{\tau }_{mn}^{(i)}(h)$,

здесь: $\sigma$ - общее число неэквивалентных неприводимых представлений группы $G$, $s_i$ - число векторов канонического базиса $i$ - го неприводимого представления, ${\tau }_{mn}^{(i)}$ - элементы матрицы $i$ - го неприводимого представления.

Доказательство

Зададим регулярное представление $T$ на группе $G$ при помощи оператора $T(g)$, действующего в пространстве $\mathrm{\Phi }$ функций на группе и определенного соотношением

$T(g)\varphi (h)=\psi (h)\equiv \varphi (hg)$ (1),

где $\varphi (h)$ - произвольная функция на группе.

Оператор $T(g)$ задаёт представление $T$ группы $G$ в пространстве $\mathrm{\Phi }$, так как $T(e)=E$ и $T(g_1)T(g_2)=T(g_1{g}_2)$ в силу $T(g_1)T(g_2)\varphi (h)=T(g_1)\psi (h)=\psi (h{g}_1)=\varphi (h{g}_1{g}_2)=T(g_1{g}_2)\varphi (h)$.

Пространство $\mathrm{\Phi }$ можно представить в виде суммы подпространств:

$\mathrm{\Phi }=\sum _{\alpha =1}^{\sigma }\sum _{m=1}^{m_{\alpha }}{\mathrm{\Phi }}_m^{(\alpha )}$

вследствие того, что, как всякое представление конечной группы, представление $T$ является суммой неприводимых представлений. Здесь ${\mathrm{\Phi }}_m^{(\alpha )},m=1,...,m_{\alpha }$ - подпространства, преобразующиеся под действием оператора $T(g)$ по неприводимому представлению ${\tau }_{\alpha }$, $m_{\alpha }$ - целое число, означающее число вхождений представления ${\tau }_{\alpha }$ в регулярное представление $T$.

Воспользуемся тем, что в каждом подпространстве ${\mathrm{\Phi }}_m^{(\alpha )}$ существует канонический базис, совокупность функций ${\varphi }_j^{\alpha m}(h),j=1,2,...,s_{\alpha }$, преобразующихся под действием операторов $T(g)$ как:

$T(g){\varphi }_j^{\alpha m}(h)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}{\tau }_{lj}^{\alpha }(g){\varphi }_l^{\alpha m}(h)$ (2)

Базис в пространстве $\mathrm{\Phi }$ можно получить, объединив базисные функции всех его подпространств и вычислив таким образом коэффициенты $C_j^{\alpha m}$. В результате получим:

$F(h)=\sum _{\alpha =1}^{\sigma }\sum _{m=1}^{m_{\alpha }}\sum _{j=1}^{s_{\alpha }}{C}_j^{\alpha m}{\varphi }_j^{(\alpha m)}$ (3)

Для завершения доказательства определим функции ${\varphi }_j^{(\alpha m)}$. Из формул (1, 2) получаем:

${\varphi }_j^{\alpha m}(hg)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}{\tau }_{lj}^{\alpha }(g){\varphi }_l^{(\alpha m)}(h)$

Положим в этой формуле $h=e$. Формула примет вид:

${\varphi }_j^{\alpha m}(g)=\sum _{l=1}^{s_{\alpha }}{\tau }_{lj}^{\alpha }(g){\varphi }_l^{(\alpha m)}(e)$

Таким образом, всякая функция ${\varphi }_j^{\alpha m}(g)$ раскладывается в ряд по матричным элементам ${\tau }_{lj}^{\alpha }(g),l=1,2....,s_{\alpha }$. Из равенства (3) следует, что и произвольная функция $F(h)$ обладает таким же свойствомШаблон:Sfn.

См. также

• Коэффициенты Фурье

Литература

• Шаблон:Книга