Пространство ограниченных последовательностей

Пространство ограниченных последовательностей — метрическое пространство. Каждый его элемент определяется как бесконечная последовательность чисел $x=\{x_n{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$, каждый член которой ограничен по модулю: $|x_i|⩽K_i$, $i=1,...\mathrm{\infty }$, где $K_i$, $i=1,...\mathrm{\infty }$ - константыШаблон:Sfn, и в котором определено расстояние $\rho (x,y)$ между любыми двумя точками $x,y$, какШаблон:Sfn: $\rho (x,y)=\underset{i}{\sup }|x_i-y_i|$, $i=1,...\mathrm{\infty }$, где $\sup$ - точная верхняя граница.

Для пространства ограниченных последовательностей приняты стандартные обозначения $m$ или ${\ell }_{\mathrm{\infty }}$Шаблон:Sfn.

Пространство $m$ не является сепарабельнымШаблон:Sfn и является полнымШаблон:Sfn.

При определении нормы в $m$ какШаблон:Sfn:

$\Vert x\Vert =\underset{i}{\sup }|x_i|$, $i=1,...\mathrm{\infty }$

оно становится линейным нормированным пространством.

Примеры:

• бесконечные последовательности чисел вида $x=\{x_n{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$, таких, что $|x_i|⩽1$, $i=1,...\mathrm{\infty }$
• бесконечные последовательности чисел вида $x=\{x_n{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$, таких, что $|x_i|⩽\frac{1}{i}$, $i=1,...\mathrm{\infty }$

См. также

• Пространство квадратично-суммируемых последовательностей

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга