Экранированное уравнение Пуассона

В математике экранированное уравнение Пуассона — это дифференциальное уравнение в частных производных вида:

$[{\mathrm{\nabla }}^2-{\lambda }^2]u(𝐫)=-f(𝐫),$

где ${\mathrm{\nabla }}^2$ — оператор Лапласа, $\lambda$ — константа, $f$ — произвольная функция позиции (известна как «функция источника»), а $u$ — искомая функция. Экранированное уравнение Пуассона часто используется в физике, включая теорию Юкавы о мезонном экранировании и экранировании электрического поля в плазме.

Когда $\lambda$ равна нулю, уравнение превращается в уравнение Пуассона. Следовательно, когда $\lambda$ очень мала, решение приближается к решению неэкранированного уравнения Пуассона, которое является суперпозицией $1/r$ функций, статистически взвешенной функцией источника $f$:

$u(𝐫{)}_{(Poisson)}=\int d^3{r}^{\prime }\frac{f({𝐫}^{\prime })}{4\pi |𝐫-{𝐫}^{\prime }|}.$

С другой стороны, когда $\lambda$ очень велика, $u$ приближается к значению $f/{\lambda }^2$, которое в свою очередь приближается к нулю, когда $\lambda$ уходит на бесконечность. Как мы увидим, решение для средних значений $\lambda$ ведёт себя как суперпозиция экранированных (или затухающих) $1/r$ функций, причём $\lambda$ будет являться силой экранирования.

Экранированное уравнение Пуассона может быть решено для общего $f$ с использованием функции Грина. Функция Грина $G$ определяется как

$[{\mathrm{\nabla }}^2-{\lambda }^2]G(𝐫)=-{\delta }^3(𝐫).$

Допустив, что $u$ и её производные пренебрежимо малы на больших $r$, мы можем выполнить преобразование Фурье в пространственных координатах:

$G(𝐤)=\int d^{3}rG(𝐫)e^{i𝐤\cdot 𝐫}$

где интеграл берётся по всему пространству. Затем можно показать, что

$[k^2+{\lambda }^2]G(𝐤)=1.$

Следовательно, функция Грина на $r$ даётся обратным преобразованием Фурье:

$G(𝐫)=\frac{1}{(2\pi {)}^3}\int d^{3}k\frac{e^{-i𝐤\cdot 𝐫}}{k^2+{\lambda }^2}.$

Этот интеграл может быть оценён с использованием сферических координат в $k$-пространстве. Интегрирование по угловым координатам несложно, и интеграл упрощается — теперь интегрировать нужно только по одной радиальной координате $k$:

$G(𝐫)=\frac{1}{2{\pi }^{2}r}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}dk\frac{k\sin kr}{k^2+{\lambda }^2}.$

Этот интеграл может быть оценён путём интегрирования по контуру (теории вычетов). В итоге получаем:

$G(𝐫)=\frac{e^{-|\lambda |r}}{4\pi r}.$

Итоговое решение всей задачи:

$u(𝐫)=\int d^3{r}^{\prime }G(𝐫-{𝐫}^{\prime })f({𝐫}^{\prime })=\int d^3{r}^{\prime }\frac{e^{-|\lambda ||𝐫-{𝐫}^{\prime }|}}{4\pi |𝐫-{𝐫}^{\prime }|}f({𝐫}^{\prime }).$

Как было указано выше, это суперпозиция экранированных $1/r$ функций, статистически взвешенных функцией источника $f$, причём $\lambda$ является коэффициентом экранирования. Экранированная $1/r$ функция часто появляется в физике как экранированный кулоновский потенциал, также известен и «потенциал Юкавы».

См. также

• Взаимодействие Юкавы