Взаимодействие Юкавы

Шаблон:Другое значение В физике элементарных частиц взаимодействие Юкавы, названное в честь Хидэки Юкавы — это взаимодействие между скалярным полем $\varphi$ и дираковским полем $\mathrm{\Psi }$:

$V\approx g\overline{\mathrm{\Psi }}\varphi \mathrm{\Psi }$ (скаляр) или $g\overline{\mathrm{\Psi }}i{\gamma }^5\varphi \mathrm{\Psi }$ (псевдоскаляр).

Взаимодействие Юкавы можно использовать для описания сильных ядерных сил между нуклонами (которые являются фермионами), переносимых пионами (которые являются псевдоскалярными мезонами). Взаимодействие Юкавы также используется в рамках Стандартной модели для описания связи между хиггсовским полем и безмассовыми полями кварков и электронов. Посредством механизма спонтанного нарушения симметрии фермионы обретают массу, пропорциональную среднему ожидаемому значению поля Хиггса.

Действие

Действие для мезонного поля $\varphi$, взаимодействующего c дираковским фермионным полем $\psi$:

$S[\varphi ,\psi ]=\int d^{d}x[{ℒ}_{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}}(\varphi )+{ℒ}_{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}}(\psi )+{ℒ}_{\mathrm{Y}\mathrm{u}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{w}\mathrm{a}}(\varphi ,\psi )]$

где интегрирование выполняется по d измерениям (обычно 4 для четырёхмерного пространства-времени). Лагранжиан мезонного поля:

${ℒ}_{\mathrm{m}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{o}\mathrm{n}}(\varphi )=\frac{1}{2}{\partial }^{\mu }\varphi {\partial }_{\mu }\varphi -V(\varphi )$.

Здесь $V(\varphi )$ — член, отвечающий за самодействие. Для свободного массивного мезона он равен $V(\varphi )=\frac{1}{2}{\mu }^2{\varphi }^2$ где $\mu$ масса мезона. Для (перенормируемого) самодействующего поля он равен $V(\varphi )=\frac{1}{2}{\mu }^2{\varphi }^2+\lambda {\varphi }^4$ где λ константа связи. Этот потенциал подробно рассматривается в статье взаимодействие четвёртого порядка.

Свободный лагранжиан Дирака равен

${ℒ}_{\mathrm{D}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{a}\mathrm{c}}(\psi )=\overline{\psi }(i\partial /-m)\psi$

где m — положительная, действительная масса фермиона. Лагранжиан взаимодействия Юкавы равен

${ℒ}_{\mathrm{Y}\mathrm{u}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{w}\mathrm{a}}(\varphi ,\psi )=-g\overline{\psi }\varphi \psi$

где g — (действительная) константа связи для скалярных мезонов и

${ℒ}_{\mathrm{Y}\mathrm{u}\mathrm{k}\mathrm{a}\mathrm{w}\mathrm{a}}(\varphi ,\psi )=-g\overline{\psi }i{\gamma }^5\varphi \psi$

для псевдоскалярных мезонов. Учитывая вышесказанное, действие можно записать как

$S[\varphi ,\psi ]=\int d^{d}x[\frac{1}{2}{\partial }^{\mu }\varphi {\partial }_{\mu }\varphi -V(\varphi )+\overline{\psi }(i\partial /-m)\psi -g\overline{\psi }\varphi \psi ]$

Классический потенциал

Если два скалярных мезона взаимодействуют посредством взаимодействия Юкавы, то потенциал между двумя частицами будет равен:

$V(r)=-\frac{g^2}{4\pi }\frac{1}{r}{e}^{-\mu r}$

— потенциал Юкавы (такой же, как и кулоновский потенциал, если не учитывать знак и экспоненциальный фактор). Из-за знака взаимодействие Юкавы может быть только притяжением для всех частиц (электромагнитное взаимодействие является отталкиванием для одинаковых частиц). Это объясняется тем фактом, что частица Юкавы имеет нулевой спин, а чётный спин всегда приводит к потенциалу притяжения. Экспонента дает взаимодействию конечную дальность, так что частицы на больших расстояниях не взаимодействуют.

Спонтанное нарушение симметрии

Пусть потенциал $V(\varphi )$ имеет минимум не при $\varphi =0$, а при каком-то ненулевом значении ${\varphi }_0$. Это возможно, если написать (например) $V(\varphi )={\mu }^2{\varphi }^2+\lambda {\varphi }^4$ и затем присвоить μ мнимое значение. В этом случае можно сказать, что лагранжиан показывает спонтанное нарушение симметрии. Ненулевое значение φ называется средним ожидаемым значением φ. В Стандартной модели это ненулевое значение ответственно за ненулевые фермионные массы, как показано ниже.

Чтобы показать член, содержащий массу, можно выразить действие через поле $\tilde{\varphi }=\varphi -{\varphi }_0$, где ${\varphi }_0$ понимается как константа, независимая от положения. Мы видим, что выражение Юкавы имеет член

$g{\varphi }_0\overline{\psi }\psi$

и поскольку g и ${\varphi }_0$ — константы, этот член выглядит точно как массовый член для фермиона с массой $g{\varphi }_0$. Это механизм, посредством которого спонтанное нарушение симметрии придает массу фермионам. Поле $\tilde{\varphi }$ известно как Поле Хиггса.

Форма Майорана

Также возможно получить взаимодействие Юкавы между скаляром и полем Майорана. На самом деле, взаимодействие Юкавы между скаляром и спинором Дирака можно рассматривать как взаимодействие Юкавы между скаляром и двумя спинорами Майорана одной массы. Раскрыв в терминах двух хиральных спиноров Майорана, получим

$S[\varphi ,\chi ]=\int d^{d}x[\frac{1}{2}{\partial }^{\mu }\varphi {\partial }_{\mu }\varphi -V(\varphi )+{\chi }^{†}i\overline{\sigma }\cdot \partial \chi +\frac{i}{2}(m+g\varphi ){\chi }^T{\sigma }^2\chi -\frac{i}{2}(m+g\varphi {)}^{*}{\chi }^{†}{\sigma }^2{\chi }^{*}]$

где g — комплексная константа связи, а m — комплексное число.

Правила Фейнмана

Статья потенциал Юкавы содержит простой пример правил Фейнмана и вычисление амплитуды рассеяния по диаграмме Фейнмана, соответствующей взаимодействию Юкавы.

См. также

• Стандартная модель

Ссылки

• Claude Itzykson and Jean-Bernard Zuber, Quantum Field Theory, (1980) McGraw-Hill Book Co. New York ISBN 0-07-032071-3
• James D. Bjorken and Sidney D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics (1964) McGraw-Hill Book Co. New York ISBN 0-07-232002-8
• Michael E. Peskin and Daniel V. Schroeder, An Introduction to Quantum Field Theory (1995), Addison-Wesley Publishing Company, ISBN 0-201-50397-2