Правила Фейнмана

Правила Фе́йнмана в квантовой теории поля — правила соответствия между вкладами определенного порядка теории возмущений в матричные элементы матрицы рассеяния и диаграмм Фейнмана. Регулярный вывод правил Фейнмана основан на применении теоремы Вика для хронологических произведений к хронологическим произведениям полевых операторов, через интегралы от которых выражаются вклады в матрицу рассеяния. В правилах Фейнмана центральную роль играют пропагаторы квантовых полей, равные их хронологическим спариваниям, то есть вакуумным ожиданиям от парных хронологических произведений:

$u_a(x)u_b(y)=⟨T{u}_a(x)u_b(y){⟩}_0.$

которые также равны причинным функциям Грина этих полей:

$u_a(x)u_b(y)=i{\delta }_{a,b}{\mathrm{\Delta }}_a^c(x-y).$

Наряду с пропагаторами $i\mathrm{\Delta }(x-y)$, которым в диаграммах Фейнмана соответствуют линии, соединяющие точки х и у, и которые полностью характеризуют взаимодействующие поля, правила Фейнмана включают элементы, описывающие механизм взаимодействия и отражающие структуру лагранжиана взаимодействия рассматриваемой квантовополевой модели.

Существуют две разновидности правил Фейнмана

1. правила в координатном представлении, на основе которых можно сопоставить диаграммы вкладам в S-матрицу, выраженным через операторные полевые функции
2. более полезными оказываются правила Фейнмана в импульсном представлении, которые служат непосредственно для построения матричных элементов переходов между физ. состояниями, характеризуемыми наряду с прочими квантовыми числами значениями 4-импульсов частиц.

В дальнейшем термином «правила Фейнмана» будем называть именно правила Фейнмана в импульсном представлении.

В этом представлении вместо вышеприведенных выражений используют их фурье-образы ${\mathrm{\Delta }}_a(p)$, которым на диаграмме Фейнмана соответствуют внутренние линии, по которым как бы движутся частицы с импульсом р. Места встречи линий — вершины — описывают взаимодействия частиц. Поэтому, согласно правилам Фейнмана, вершинам отвечают множители в матричных элементах, передающие структуру лагранжианов взаимодействия. В качестве иллюстрации в таблице приведены правила соответствия для квантовой электродинамики в диагональной (иначе фейнмановской) калибровке электромагнитного поля.

Правила Фейнмана для квантовой электродинамки

	Элементы Диаграммы		Фактор в S-матричном элементе
	название	изображение
1	Вершина	Файл:Image1 for table1 feynmann diagramm.PNG	$(2\pi {)}^{4}ie{\gamma }^{\mu }{\delta }^{(4)}(p+k-p^{\prime })$
2	Внутренняя фотонная линия	Файл:Image2 for table1 feynmann diagramm.PNG	$\frac{1}{(2\pi {)}^{4}i}\frac{{\epsilon }_{\mu ,\nu }}{-k^2}$
3	Внутренняя электронно-позитронная линия		$\frac{1}{(2\pi {)}^{4}i}\frac{m+\hat{p}}{m^2-p^2}\hat{p}={\gamma }^{\mu }{\rho }_{\mu }$
4	Внешняя фотонная линия	Файл:Image4 for table1 feynmann diagramm.PNG	$\frac{(e^{\alpha }(k){)}_{\mu }}{(2\pi {)}^{3/2}\sqrt{2k_0}}$
5	Внешняя выходящая электронная линия	Файл:Image5 for table1 feynmann diagramm.PNG	$(2\pi {)}^{-3/2}\overrightarrow{v_{\sigma }}(\rho )$
6	Внешняя выходящая линия		$(2\pi {)}^{-3/2}\overrightarrow{v_{\rho }}(\rho )$
7	для построения вклада n-го порядка по e в матричный элемент заданного процесса следует нарисовать все диаграммы, содержащие ровно n вершин, соединяющие их внутренние линии и заданный набор внешних линий, определяемый суммарно начальным и конечным состоянием рассматриваемого процесса. При этом следует иметь в виду, что направления, указанные стрелками на электронных линиях, отвечают движению позитрона против направления стрелок
8	каждой из этих диаграмм по правилам соответствия из табл. путём перемножения факторов из правой колонки, упорядоченных по движению вдоль электронных линий, ставится в соответствие выражение, которое затем должно быть проинтегрировано по 4-импульсам и просуммировано по всем индексам всех внутр. линий;
9	если в диаграмме имеется $l$ замкнутых электронных петель, то всё выражение должно быть умножено на (— 1)l
10	если в диаграмме имеется топологическая симметрия k-го порядка, то есть можно переставить k вершин, не изменив топологию диаграммы, то следует добавить множитель (k!)−1
11	если в начальном или конечном состоянии имеются тождественные частицы, то следует провести соответствующую симметризацию.

Выражение, стоящее в первой строке таблицы правил соответствия, отвечает структуре лагранжиана взаимодействия $ℒ(x)=e\psi (x){\gamma }^{\mu }\psi (x)A_{\mu }(x)$, за исключением множителя $i$, который учитывает тот факт, что вклад n-го порядка в S-матрицу содержит множитель $i^n$:

$S_n\approx \frac{i^n}{n!}\int T(ℒ(x_1)...ℒ(x_n))d{x}_1...d{x}_n.$

Две следующие строчки содержат пропагаторы полей, а затем в правилах соответствия фигурируют вектор поляризации фотона $e^{\alpha }(k)$ и неквантованные дираковские спиноры $\overrightarrow{v}(\rho ),v(p)$, являющиеся решениями свободного уравнения Дирака и отвечающие электронам (и/или позитронам) в начальном и конечном состояниях.

Пример применения

Файл:Image1 feynmann Rules.PNG

Пользуясь приведёнными правилами Фейнмана, получим матричный элемент процесса е⁻+е⁻ → е⁻+е⁻ (то есть мёллеровского рассеяния электронов) в низшем, втором по e, порядке теории возмущений. Единственной диаграммой оказывается диаграмма, приведённая на рис. 6. Используя введённые на этом рисунке импульсные обозначения, положим, что импульсы электронов в начальном состоянии равны p₁ и р₂, а электроны конечного состояния обладают импульсами — q₁ , q₂ (при этом, разумеется, q₁⁰ < 0, q₂⁰ < 0). Используя правила (1), (2), (5), (6) и (8), находим:

$M(p_1,p_2,-q_1,-q_2)=\frac{e^2}{i(2\pi {)}^2}\delta (p_1+p_2+q_1+q_2)\frac{g_{\mu ,\nu }}{(p_1+q_1{)}^2}\overrightarrow{v_{\sigma }}(-q_1){\gamma }^{\mu }{v}_{\rho }(p_1)$$\overrightarrow{v_{\kappa }}(-q_2){\gamma }^{\nu }{v}_{\lambda }(p_2).$

Согласно правилу (11), это выражение следует ещё антисимметризовать по электронам начального и конечного состояний.

Из релятивистской квантовой теории поля метод диаграмм Фейнмана и правила Фейнмана непосредственно переносится в квантовую статистику при нулевой температуре и без труда формулируется для теории возмущений при конечной температуре.

См. также

Диаграммы Фейнмана

Литература

• Feynman R. P. Space-time approach to quantum electrodynamics // Phys. Rev., 1949, v. 76, p. 769
• Фейнман Р. Квантовая электродинамика / Пер. с англ. — М., 1964 djvu-формат книги
• Биленький С. М. Введение в диаграммную технику Фейнмана. — М., 1971
• Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В. Квантовые поля. — 2-е изд. — М., 1993.