Субгармоническая функция

Субгармонические и супергармонические функции представляют собой особые классы функций, содержащие как частные случаи и класс гармонических функций.

Определение

Непрерывная функция $U(M)$, заданная в точках $M(x_1,\dots ,x_k)$ произвольной $k$-мерной области $G$ пространства $E_k$, называется субгармонической, если, каким бы ни был шар $Q$ с центром в точке $M_0$, принадлежащий вместе со своей границей области $G$, справедливо неравенство $U(M_0)⩽\frac{1}{\sigma (\gamma (Q))}\underset{\gamma (Q)}{\int }U(M)d\sigma$, и супергармонической, если $U(M_0)⩾\frac{1}{\sigma (\gamma (Q))}\underset{\gamma (Q)}{\int }U(M)d\sigma$.

Основные свойства

1. $f$ — гармоническая функция, только если она одновременно является суб- и супергармонической.
2. Если $G\subset {ℝ}^n$ — открытое множество и $f\in {𝒞}^2(G)$ (${𝒞}^2(G)$ — класс дважды непрерывно дифференцируемых на $G$ функций), то для субгармоничности $f$ необходимо и достаточно выполнение на $G$ условия $\mathrm{\Delta }f⩾0$ ($\mathrm{\Delta }$ — оператор Лапласа).
3. Субгармоническая функция не может достигать своего максимума внутри области своей субгармоничности (сравните с принципом максимума для аналитических функций). Если максимум все же достигается, то функция тождественно равна постоянной.

Свойства

• Для любой аналитической функции $f(z)$, определённой на открытом множестве комплексной плоскости, функция

  $\phi (z)=\log |f(z)|$

является субгармонической.

См. также

• Плюрисубгармоническая функция

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга