Неравенство Гарнака

Неравенство Гарнака — если функция $U(M)=U(x_1,...,x_k)$, гармоническая в $k$-мерном шаре $Q_R$ радиуса $R$ с центром в некоторой точке $M_0$, неотрицательна в этом шаре, то для её значений в точках $M$ внутри рассматриваемого шара справедливы следующие неравенства: $R^{k-2}\frac{R-r}{(R+r{)}^{k-1}}U(M_0)⩽U(M)⩽R^{k-2}\frac{R+r}{(R-r{)}^{k-1}}U(M_0)$, где $r=\rho (M_0,M)<R$.

Доказательство

В силу формулы Пуассона для точек $M$ внутри шара $Q_{R^{\prime }}(R^{\prime }<R)$ имеем $U(M)=\frac{\mathrm{\Gamma }(k/2)}{2{\pi }^{k/2}{R}^{\prime }}\underset{\gamma }{\int }(Q_{R^{\prime }})U(N)\frac{{R^{\prime }}^2-r^2}{({R^{\prime }}^2+r^2-2R^{\prime }r\cos \theta {)}^{r/2}}d\sigma$. Учитывая неравенства $(R^{\prime }-r{)}^2⩽{R^{\prime }}^2+r^2-2R^{\prime }r\cos \theta ⩽(R^{\prime }+r{)}^2$, благодаря условию $U(N)⩾0$ получим отсюда, что ${R^{\prime }}^{k-2}\frac{{R^{\prime }}^2-r^2}{(R^{\prime }+r{)}^k}\frac{\mathrm{\Gamma }(k/2)}{2{\pi }^{k/2}{R^{\prime }}^{k-1}}\underset{\gamma }{\int }(Q_{R^{\prime }})U(N)d\sigma ⩽U(M)⩽{R^{\prime }}^{k-2}\frac{{R^{\prime }}^2-r^2}{(R^{\prime }-r{)}^k}\frac{\mathrm{\Gamma }(k/2)}{2{\pi }^{k/2}{R^{\prime }}^{k-1}}\underset{\gamma }{\int }(Q_{R^{\prime }})U(N)d\sigma$, или, применяя теорему Гаусса ${R^{\prime }}^{k-2}\frac{{R^{\prime }}^2-r^2}{(R^{\prime }+r{)}^k}U(M_0)⩽U(M)⩽{R^{\prime }}^{k-2}\frac{{R^{\prime }}^2-r^2}{(R^{\prime }-r{)}^k}U(M_0)$. Таким образом, переходя к пределу при $R^{\prime }\to R$, получим неравенство Гарнака $R^{k-2}\frac{R-r}{(R+r{)}^{k-1}}U(M_0)⩽U(M)⩽R^{k-2}\frac{R+r}{(R-r{)}^{k-1}}U(M_0)$.

Литература

• Тиман А. Ф., Трофимов В. Н. Введение в теорию гармонических функций, М., Наука, 1968, 206 стр., тир 39500 экз.