Теорема Леви о монотонной сходимости

Шаблон:Значения Теорема о монотонной сходимости (теорема Бе́ппо Ле́ви) — это теорема из теории интегрирования Лебега, имеющая фундаментальное значение для функционального анализа и теории вероятностей, где служит инструментом для доказательства многих положений. Даёт одно из условий при которых можно переходить к пределу под знаком интеграла Лебега, теорема позволяет доказать существование суммируемого предела у некоторых ограниченных функциональных последовательностей.

Различные формулировки из функционального анализа

Далее $L_1(X,\mu )$ обозначает пространство интегрируемых функций на пространстве с мерой $(X,\mu )$. Мера не предполагается конечной. Для всех интегралов далее областью интегрирования является всё пространство $X$.

Теорема Леви (о монотонном пределе интегрируемых функций). Пусть $f_n\in L_1(X,\mu )$ — монотонно неубывающая последовательность функций, интегрируемых на $X$, то есть

$f_n(x)⩽f_{n+1}(x)$ для всех $n\in \mathbb{N}$ и $x\in X$.

Если их интегралы ограничены в совокупности:

$\int f_n(x)d\mu ⩽K$,

Тогда:

1. почти всюду существует конечный предел $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_n(x):=f(x)$ (то есть функции $f_n(x)$ сходятся поточечно к некоторой функции $f(x)$ почти всюду на $X$);
2. предельная функция $f(x)$ интегрируема на $X$, то есть $f\in L_1(X,\mu )$;
3. функции $f_n(x)$ сходятся к функции $f(x)$ в среднем, то есть по норме пространства $L_1(X,\mu )$;
4. допустим предельный переход под знаком интеграла:

$\int f(x)d\mu =\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\int f_n(x)d\mu$.

Другая форма теоремы Леви относится к почленному интегрированию неотрицательных рядов:

Теорема Леви (о почленном интегрировании неотрицательных рядов). Пусть ${\phi }_n\in L_1(X,\mu )$ — неотрицательные функции, интегрируемые на $X$. Если ограничены в совокупности интегралы от частичных сумм ряда

$\int \sum _{k=1}^n{\phi }_k(x)d\mu ⩽C$,

тогда

1. ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_k(x)$ сходится почти всюду к конечному значению;
2. сумма ряда $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_k(x)$ является интегрируемой функцией;
3. последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства $L_1(X,\mu )$;
4. допустимо почленное интегрирование функционального ряда:

$\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_k(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int {\phi }_k(x)d\mu$.

Первая и вторая форма теоремы переходят одна в другую при замене $f_n(x)=\sum _{k=1}^n{\phi }_k(x)$, или ${\phi }_n(x)=f_n(x)-f_{n-1}(x)$. Однако вторая форма допускает следующее расширение на интегрирование функциональных рядов, не обязательно знакопостоянных:

Теорема Леви (о почленном интегрировании функциональных рядов). Пусть ${\phi }_n\in L_1(X,\mu )$ — функции, интегрируемые на $X$. Если сходится ряд

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int |{\phi }_k(x)|d\mu <\mathrm{\infty }$,

тогда

1. ряд $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_k(x)$ абсолютно сходится почти всюду к конечному значению;
2. сумма ряда $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_k(x)$ является интегрируемой функцией;
3. последовательность частичных сумм ряда сходится к его сумме по норме пространства $L_1(X,\mu )$;
4. допустимо почленное интегрирование функционального ряда:

$\int \sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{\phi }_k(x)d\mu =\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\int {\phi }_k(x)d\mu$.

Чтобы получить теорему Леви в этой форме, нужно применить теорему Лебега о мажорированной сходимости, так как частичные суммы ряда допускают интегрируемую мажоранту:

$|\sum _{k=1}^n{\phi }_k(x)|⩽\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}|{\phi }_k(x)|=\phi (x)$

Формулировка из теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов $\mathrm{\Omega }$, вышеприведенная теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть $\{X_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ — монотонная последовательность неотрицательных п.н. интегрируемых случайных величин. Тогда

$𝔼[\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{X}_n]=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}𝔼X_n$.

См. также

• Теорема Лебега о мажорируемой сходимости
• Лемма Фату

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга