Теорема Лебега о мажорируемой сходимости

Шаблон:Другие значения Теорема Лебе́га о мажори́руемой сходимости — утверждение теории меры, согласно которому сходящаяся почти всюду последовательность измеримых функций может быть ограничена по модулю сверху интегрируемой функцией, то все члены последовательности, а также предельная функция тоже интегрируемы. Более того, интеграл последовательности сходится к интегралу её предела.

Точная формулировка: если фиксировано пространство с мерой $(X,ℱ,\mu )$ и $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ и $f$ — измеримые функции на $A\subseteq X$, причём $f_n(x)\to f(x)$ почти всюду на $A$, тогда если существует определённая на том же пространстве интегрируемая на $A$ функция $g$ такая, что любая функция $|f_n(x)|⩽g(x)$ почти всюду, то функции $f_n,f$ интегрируемы и:

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\underset{A}{\int }{f}_n(x)\mu (dx)=\underset{A}{\int }f(x)\mu (dx)$.

Условие мажорированности последовательности $\{f_n\}$ интегрируемой функцией $g$ принципиально и не может быть опущено, как показывает следующий контрпример: для $(X,ℱ,\mu )=([0,1],ℬ,m)$, где $ℬ$ — борелевская $\sigma$-алгебра на $[0,1]$, а $m$ — мера Лебега на том же пространстве и функции $f_n(x)$, равной $n$ при $0⩽x<\frac{1}{n}$ или нулю в противном случае:

$f_n(x)=\{\begin{array}{cc}n,& 0⩽x<\frac{1}{n}\\ 0,& \frac{1}{n}⩽x⩽1\end{array}$,

последовательность $\{f_n\}$ не может быть мажорирована интегрируемой функцией, и:

$\underset{0}{\overset{1}{\int }}\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}{f}_n(x)m(dx)=0\ne 1=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}\underset{0}{\overset{1}{\int }}{f}_n(x)m(dx)$.

Шаблон:Не переведено — цепь неравенств без условия сходимости почти всюду, обращающаяся утверждение теоремы Лебега при сходимости почти всюду.

Приложение к теории вероятностей

Так как математическое ожидание случайной величины определяется как её интеграл Лебега по пространству элементарных исходов $\mathrm{\Omega }$, теорема переносится и в теорию вероятностей. Пусть есть сходящаяся почти всюду последовательность случайных величин: $X_n\to X$ почти всюду. Пусть в дополнение существует интегрируемая случайная величина $Y$, такая что $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}|X_n|⩽Y$ почти наверное. Тогда случайные величины $X_n,X$ интегрируемы и

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{n\to \mathrm{\infty }}𝔼X_n=𝔼X$.

Литература

• Шаблон:Книга