Взаимнокорреляционная функция

Взаимнокорреляционная функция — стандартный метод оценки степени корреляции двух последовательностей. Она часто используется для поиска в длинной последовательности более короткой заранее известной. Рассмотрим два ряда f и g. Взаимная корреляция определяется по формуле:

$(f\star g{)}_i\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\sum _j{f}_j^{*}{g}_{i+j}$,

где $i$ — сдвиг между последовательностями относительно друг друга, а верхний индекс в виде звёздочки означает комплексное сопряжение. В общем случае, для непрерывных функций f (t) и g (t) взаимная корреляция определяется как

$(f\star g)(t)\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{f}^{*}(\tau )g(t+\tau )d\tau ,$

Если $X$ и $Y$ — два независимых случайных числа с плотностями распределения вероятностей соответственно f и g, тогда взаимная корреляция f $\star$ g соответствует распределению вероятностей выражения $-X+Y$. Напротив, свёртка f $*$ g соответствует распределению вероятностей суммы $X+Y$.

Свойства

Слева направо: свёртка, взаимная корреляция и автокорреляция

Взаимная корреляция и свёртка взаимосвязаны:

$f(t)\star g(t)=f^{*}(-t)*g(t)$

поэтому, если функции f и g чётны, то

$(f\star g)=f*g$

Также: $(f\star g)\star (f\star g)=(f\star f)\star (g\star g)$

По аналогии с теоремой свёртки взаимная корреляция удовлетворяет

$ℱ[f\star g]=(ℱ[f]{)}^{*}\cdot (ℱ[g])$

где $ℱ$ означает преобразование Фурье. Данное свойство часто используется вместе с алгоритмами быстрого преобразования Фурье для эффективного вычисления величины взаимной корреляции.

Используется при обработке сигналов, например, для распознавания отраженного от объекта локационного сигнала (радаров, сонаров) в условиях помех. Также используется для анализа случайных процессов, например, в измерениях и статистике.

См. также

• Автокорреляционная функция
• Свёртка (математический анализ)
• Корреляция
• Теорема Хинчина — Колмогорова

Ссылки

• функция xcorr в MATLAB