Редко используемые тригонометрические функции

Редко используемые тригонометрические функции — функции угла, которые в настоящее время используются редко по сравнению с шестью основными тригонометрическими функциями (синусом, косинусом, тангенсом, котангенсом, секансом и косекансом). К ним относятся:

Определение тригонометрических функций через окружность. Отрезки CD и DE описывают соответственно версинус и эксеканс.

Графики функций versin, vercos, haversin, havercos, exsec, excsc

• Синус-верзус (другие написания: версинус, синус версус, называется также «стрелка дуги»). Определяется как $\mathrm{versin}\vartheta =1-\cos \vartheta =2{\sin }^2\frac{\vartheta }{2}.$ Представляет собой расстояние от центральной точки дуги, измеряемой удвоенным данным углом, до центральной точки хорды, стягивающей дугу. Иногда используются обозначения $\mathrm{vers}\vartheta ,\sin \mathrm{vers}\vartheta .$
• Косинус-верзус (другие написания: косинус версус или веркосинус). Определяется как $\mathrm{vercos}\vartheta =\mathrm{versin}(\frac{\pi }{2}-\vartheta )=1+\cos \vartheta .$Иногда используются обозначения cos vers.
• Аккорд — одна из редких тригонометрических функций, которая использовалась в ранней тригонометрии. Определяется эта функция как 2sin(x/2).
• Коверсинус (лат. coversinus, сокращение от coversed sine. Другие написания: синус-коверзус, покрытый синус.) Определяется эта функция как $\mathrm{coversin}\vartheta =1-\sin \vartheta$. Для этой функции используются также обозначения $\mathrm{covers}\vartheta$ или $\mathrm{cvs}\vartheta$.
• Коверкосинус (лат. covercosinus, сокращение от covercosed sinе. Другие написания: косинус-коверзус, покрытый косинус.) Определяется функция как $\mathrm{covercos}\vartheta =1+\sin \vartheta$. Для данной функции также используeтся обозначениe $\mathrm{cvc}\vartheta$.
• Гаковерсинус (лат. hacoversinus, coкращение от half the coversed sine.) Определяется данная функция как $\mathrm{hacoversin}\vartheta =\frac{\mathrm{coversin}\vartheta }{2}$.
• Гаковеркосинус (лат. hacovercosinus, сокращение от half the covercosed sine.) Определяется как $\mathrm{hacovercos}\vartheta =\frac{\mathrm{covercos}\vartheta }{2}$.
• Гаверсинус (Шаблон:Lang-la, сокращение от half the versed sine). Определяется как $\mathrm{haversin}\vartheta =\frac{\mathrm{versin}\vartheta }{2}={\sin }^2\frac{\vartheta }{2}.$ Используется также обозначение $\mathrm{hav}\vartheta .$
• Гаверкосинус (Шаблон:Lang-la, сокращение от half the versed cosine). Определяется как $\mathrm{havercos}\vartheta =\frac{\mathrm{vercos}\vartheta }{2}={\cos }^2\frac{\vartheta }{2}.$ Используется также обозначение $\mathrm{hac}\vartheta .$
• Эксеканс (Шаблон:Lang-la) или экссеканс. Определяется как $\mathrm{exsec}\vartheta =\sec \vartheta -1.$
• Экскосеканс — дополнительная функция к эксекансу: $\mathrm{excsc}\vartheta =\mathrm{exsec}(\frac{\pi }{2}-\vartheta )=\mathrm{cosec}\vartheta -1.$

Использование

Версинус, коверсинус и гаверсинус были удобны для ручных расчётов с использованием логарифмов (использовали логарифмы или логарифмическую линейку), поскольку они всюду неотрицательны, однако в связи с развитием вычислительных средств эта область применения неактуальна. В настоящее время эти функции используются для описания соответствующих сигналов в электронике (например, в функциональных генераторах). Гаверсинус также используется в навигационных расчётах для избежания ошибок округления в вычислительных системах с ограниченной разрядностью. Гаверсинус используется в формуле Хаверсина также для навигационных расчётах.

Функция эксеканс использовалась в железнодорожном строительстве, сферической тригонометрии, а также в геодезии вплоть до 1980-х годов. Экскосеканс использовался в кинетической энергии фермионов знаменитым физиком Альбертом Эйнштейном.

Синус-верзус

Определение

Синус-верзус определён через синус и косинус как

$\mathrm{versin}\vartheta =1-\cos \vartheta =2{\sin }^2\left(\frac{\vartheta }{2}\right).$

Синус-верзус вместе с косинусом составляет радиус окружности.

Свойства

Версинус — периодическая функция с периодом $2\pi$. Версинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

$\mathrm{versin}$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

Производная версинуса

$\frac{d}{dz}\mathrm{versin}z=\sin z$

Первообразная версинуса

$\int \mathrm{versin}zdz=z-\sin z+C$

Косинус-верзус

Определение

Косинус-верзус определён через версинус и косинус как

$\mathrm{vercos}\vartheta =\mathrm{versin}(\frac{\pi }{2}-\vartheta )=1+\cos \vartheta .$

Свойства

Веркосинус — периодическая функция с периодом $2\pi$. Веркосинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

$\mathrm{vercos}$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

Производная веркосинуса

$\frac{d}{dz}\mathrm{vercos}z=-\sin z$

Первообразная веркосинуса

$\int \mathrm{vercos}zdz=z+\sin z+C$

Гаверсинус

Определение

Гаверсинус определён через верзус-синус и синус как

$\mathrm{haversin}\vartheta =\frac{\mathrm{versin}\vartheta }{2}={\sin }^2\frac{\vartheta }{2}.$

Свойства

Гаверсинус — периодическая функция с периодом $2\pi$. Гаверсинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

$\mathrm{haversin}$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

Производная гаверсинуса

$\frac{d}{dz}\mathrm{haversin}z=\frac{\sin z}{2}$

Первообразная гаверсинуса

$\int \mathrm{haversin}zdz=-\frac{\sin z}{2}+\frac{z}{2}+C$

Гаверкосинус

Определение

Гаверкосинус определён через верзус-косинус и косинус как

$\mathrm{havercos}\vartheta =\frac{\mathrm{vercos}\vartheta }{2}={\cos }^2\frac{\vartheta }{2}.$

Свойства

Гаверкосинус — периодическая функция с периодом $2\pi$. Гаверкосинус определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

$\mathrm{havercos}$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

Производная гаверкосинуса

$\frac{d}{dz}\mathrm{havercos}z=-\frac{\cos z}{2}$

Первообразная гаверкосинуса

$\int \mathrm{havercos}zdz=\frac{\cos z}{2}+\frac{z}{2}+C$

Эксеканс

Определение

Эксеканс определён через секанс как

$\mathrm{exsec}\vartheta =\sec \vartheta -1.$

Эксеканс можно определить через тангенс и синус-верзус как

exsec(x) = versin(x)/cos(x)

exsec(x) = tg(x)*tg(x/2)

Свойства

Эксеканс — периодическая функция с периодом $2\pi$. Эксеканс определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

$\mathrm{exsec}$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

Производная эксеканса

$\frac{d}{dz}\mathrm{exsec}z=\mathrm{tg}z\cdot \sec z$

Первообразная эксеканса

$\int \mathrm{exsec}(z)\mathrm{d}z=\ln [\cos \left(\frac{z}{2}\right)+\sin \left(\frac{z}{2}\right)]-\ln [\cos \left(\frac{z}{2}\right)-\sin \left(\frac{z}{2}\right)]-z+C$

Экскосеканс

Определение

Экскосеканс определён через эксеканс и косеканс как

$\mathrm{excsc}\vartheta =\mathrm{exsec}(\frac{\pi }{2}-\vartheta )=\mathrm{cosec}\vartheta -1.$

Свойства

Экскосеканс — периодическая функция с периодом $2\pi$. Экскосеканс определён, непрерывен и бесконечно дифференцируем для всех действительных чисел.

$\mathrm{excsc}$ можно использовать в плоскости комплексных чисел.

Производная экскосеканса

$\frac{d}{dz}\mathrm{excsc}z=-\mathrm{ctg}z\cdot \sec z$

Первообразная экскосеканса

$\int \mathrm{excsc}(z)\mathrm{d}z=\ln [\tan \left(\frac{z}{2}\right)]-z+C$

Ссылки

• Статьи в энциклопедии Mathworld, описывающие эксеканс, версинус, коверсинус, гаверсинус, гаверкосинус.
• Вычисление расстояния и начального азимута между двумя точками на сфере.
• Вычисление расстояния между двумя точками на сфере: использование гаверсинуса в sql.

См. также

• Интегральный синус
• Интегральный косинус
• Многочлены Чебышёва
• Функция Гудермана