Тригонометрические функции от матрицы

Тригонометрические функции от матрицы — обобщения тригонометрических функций для квадратных матриц.

Тригонометрические функции (особенно часто синус и косинус) от квадратных матриц возникают в решениях систем дифференциальных уравнений второго порядка. Они определяются через те же ряды Тейлора, через которые определяются тригонометрические функции от вещественного или комплексного аргумента:

$\begin{array}{ccc}\sin X& =X-\frac{X^3}{3!}+\frac{X^5}{5!}-\frac{X^7}{7!}+\cdots & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n+1)!}{X}^{2n+1}\\ \cos X& =I-\frac{X^2}{2!}+\frac{X^4}{4!}-\frac{X^6}{6!}+\cdots & =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{(2n)!}{X}^{2n}\end{array}$

где Шаблон:Math означает матрицу Шаблон:Mvar в степени Шаблон:Mvar, а Шаблон:Mvar — единичную матрицу той же размерности.

Также тригонометрические функции матричного аргумента могут быть определены через матричную экспоненту с учётом матричного аналога формулы Эйлера Шаблон:Math:

$\begin{array}{cc}\sin X& =\frac{e^{iX}-e^{-iX}}{2i}\\ \cos X& =\frac{e^{iX}+e^{-iX}}{2}.\end{array}$

Например, пусть Шаблон:Mvar — стандартная матрица Паули:

${\sigma }_1={\sigma }_x=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right),$

Тогда

$\sin (\theta {\sigma }_1)=\sin (\theta ){\sigma }_1,\cos (\theta {\sigma }_1)=\cos (\theta )I,$

Можно вычислить и кардинальный синус:

$\mathrm{sinc}(\theta {\sigma }_1)=\mathrm{sinc}(\theta )I.$

Свойства

Справедлив матричный аналог основного тригонометрического тождества:

${\sin }^{2}X+{\cos }^{2}X=1$

Если Шаблон:Mvar является диагональной матрицей, Шаблон:Math и Шаблон:Math также являются диагональными матрицами, причём Шаблон:Math и Шаблон:Math, то есть синус и косинус диагональной матрицы могут быть вычислены путём вычисления соответственно синусов и косинусов элементов аргумента на главной диагонали.

Матричные аналоги формул синуса и косинуса суммы справедливы тогда и только тогда, когда матрицы коммутируют, то есть Шаблон:Mvar:

$\begin{array}{c}\sin (X\pm Y)=\sin X\cos Y\pm \cos X\sin Y\\ \cos (X\pm Y)=\cos X\cos Y\mp \sin X\sin Y\end{array}$

Другие функции

Тангенс, обратные тригонометрические функции, гиперболические функции и обратные гиперболические функции так же могут быть определены и для матриц:

$\arcsin X=-i\ln (iX+\sqrt{I-X^2})$ (см. Обратные тригонометрические функции#Связь с натуральным логарифмом, Матричный логарифм, Квадратный корень из матрицы)

$\begin{array}{cc}\sinh X& =\frac{e^X-e^{-X}}{2}\\ \cosh X& =\frac{e^X+e^{-X}}{2}\end{array}$

и так далее.