Аффинная эквивалентность

Шаблон:Нет ссылок Два множества $A,B\in {ℝ}^n$ называются аффинно эквивалентными, если существует аффинное преобразование $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$, переводящее $A$ в $B$, т.е. $f(A)=B$.

Аффинная эквивалентность является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств $𝒫({ℝ}^n)$ множества ${ℝ}^n$ и, в частности, на любом подмножестве $X\subset 𝒫({ℝ}^n)$.

Например, если $X\subset 𝒫({ℝ}^2)$ —- множество всех неприводимых коник на плоскости, то аффинная эквивалентность разбивает его на четыре класса эквивалентности, представителями которых являются четыре стандартные коники:

•    $x^2+y^2=1$  — вещественная единичная окружность;
•    $x^2-y^2=1$  — равнобочная гипербола;
•    $y=x^2$  — стандартная парабола;
•    $x^2+y^2=-1$  — мнимая окружность.

Другими словами, аффинная эквивалентность доставляет аффинную классификацию коник на плоскости: каждая неприводимая коника на плоскости аффинно эквивалентна только одной из перечисленных стандартных коник.

См. также

• Изометрическая эквивалентность
• Классификации кубик Ньютона
• Аффинная классификация кубик