Аффинная классификация кубик

Исаак Ньютон получил две классификации кубик^[1] ^[2]. Основываясь на второй классификации^[2] была получена аффинная классификация кубик^[3]. Эта классификация описана в следующей теореме.

Теорема. Существуют 59 семейств аффинных классов эквивалентности неприводимых кубик: 15 классов модальности 0; 23 семейства (классов) модальности 1; 16 семейств модальности 2; 5 семейств модальности 3; эти семейства представлены в следующем списке канонических уравнений.

Порядок перечисления семейств аффинных классов принадлежит Ньютону, для удобства он сохранён в этом списке. В каждом пункте списка указана размерность множества кубик, принадлежащих этому семейству аффинных классов. Например, каждая кубика аффинного класса с номером 1.1 аффинно эквивалентна кубике $y^{2} = x^{3}$ , множество кубик этого класса в пространстве $ℝ P^{9}$ всех кубик имеет размерность $\dim = 5$ , а каждая кубика семейства аффинных классов с номером 1.7 аффинно эквивалентна одной из кубик однопараметрического семейства $(x - 1) y^{2} - a x^{2} y + x^{3} = 0$ , где $0 < a < 2$ , множество кубик этого семейства в пространстве $ℝ P^{9}$ всех кубик имеет размерность $\dim = 7$ .

Классы, полученные из кубики с точкой возврата, см. рис. 1.

1.1. $y^{2} = x^{3}$ ; $\dim = 5$ .

1.2. $y = x^{3}$ ; $\dim = 5$ .

1.3. $x^{2} y = 1$ ; $\dim = 6$ .

1.4. $x^{2} y = 1 - x$ ; $\dim = 6$ .

1.5. $(x - 1) y^{2} + x^{3} = 0$ ; $\dim = 6$ .

1.6. $(x + 1) y^{2} = x^{3}$ ; $\dim = 6$ .

1.7. $(x - 1) y^{2} - a x^{2} y + x^{3} = 0$ , где $0 < a < 2$ ; $\dim = 7$ .

1.8. $y^{2} - x^{2} y - x^{3} = 0$ ; $\dim = 6$ .

1.9. $(x + 1) y^{2} - a x^{2} y + x^{3} = 0$ , где $a > 0$ ; $\dim = 7$ .

Классы, полученные из кубики с петлёй, см. рис. 2.

2.1. $y^{2} = x^{2} (x + 1)$ ; $\dim = 6$ .

2.2. $(1 - \frac{x}{a}) y^{2} = x^{2} (x + 1)$ , где $a > 0$ ; $\dim = 7$ .

2.3. $(1 - x) y^{2} = x^{2}$ ; $\dim = 6$ .

2.4. $(1 - \frac{x}{a}) y^{2} = x^{2} (1 - x)$ , где $0 < a < 1$ ; $\dim = 6$ .

2.5. $(x + 1) (x - 1) y + 1 = 0$ ; $\dim = 6$ .

2.6. $(\frac{x}{a} + 1) y^{2} = x^{2} (x + 1)$ , где $a > 1$ ; $\dim = 7$ .

2.7. $(x - 1) y^{2} = b x (x + a) (y - x)$ , где $a > 0$ и $0 \leq b < 4$ ; $\dim = 8$ .

2.8. $(x - 1) y^{2} = a x (y - x)$ , где $a > 0$ ; $\dim = 7$ .

2.9. $x y = (x - 1)^{3}$ ; $\dim = 6$ .

2.10. $(x - 1) y^{2} = a x (y - x)$ , где $a < - 4$ ; $\dim = 7$ .

2.11. $(1 - x) y^{2} = b x (x - a) (y - x)$ , где $a > 1$ и $b > 0$ ; $\dim = 8$ .

2.12. $(x + 1) (x - a) y + x = 0$ , где $a > 0$ ; $\dim = 7$ .

2.13. $(x + 1) (x - a) y + x^{2} = 0$ , где $a > 0$ и $a \neq 1$ ; $\dim = 7$ .

2.14. $(\frac{x}{a} + 1) y^{2} - b x^{2} y = x^{2} (x + 1)$ , где $a > 0$ и $b > 0$ ; $\dim = 8$ .

Классы, полученные из кубики с изолированной точкой, см. рис. 3, где кубики семейств с номерами 3.1, 3.2, 3.4 - 3.8, 3.10 - 3.12 имеют изолированную точку в начале координат $O = (0, 0)$ , а кубики семейств с номерами 3.3 и 3.9 имеют изолированную тоску в точке пересечения прямой $x = 0$ и бесконечно удалённой прямой $z = 0$ , т.е. в точке с проективными координатами $(0 : 1 : 0)$ .

3.1. $y^{2} = x^{2} (x - 1)$ ; $\dim = 6$ .

3.2. $(1 - \frac{x}{a}) y^{2} = x^{2} (x - 1)$ , где $a > 1$ ; $\dim = 7$ .

3.3. $(x^{2} + 1) y = x^{2}$ ; $\dim = 6$ .

3.4. $(\frac{x}{a} + 1) y^{2} = - x^{2} (x + 1)$ , где $0 < a < 1$ ; $\dim = 7$ .

3.5. $(x + 1) y^{2} = - x^{2}$ ; $\dim = 6$ .

3.6. $(\frac{x}{a} + 1) y^{2} = x^{2} (x - 1)$ , где $0 < a < \frac{1}{3}$ ; $\dim = 7$ .

3.7. $(3 x + 1) y^{2} = x^{2} (x - 1)$ ; $\dim = 6$ .

3.8. $(\frac{x}{a} + 1) y^{2} = x^{2} (x - 1)$ , где $a > \frac{1}{3}$ ; $\dim = 7$ .

3.9. $y (x^{2} + a x + 1) = x$ , где $0 \leq a < 2$ ; $\dim = 7$ .

3.10. $(1 - x) y^{2} + b x (x - a) (y - x) = 0$ , где $0 < a < 1$ и $0 < b < 4$ ; $\dim = 8$ .

3.11. $(x + 1) y^{2} + a x (y + x) = 0$ , где $0 < a < 4$ ; $\dim = 7$ .

3.12. $(x + 1) y^{2} - b x (x - a) (y + x) = 0$ , где $a > 0$ , $b > 0$ и $a < \frac{(a + 1) (b + 2 - \sqrt{b^{2} + 4 b})}{2 (b + 4) - (a + 1) (b + 2 + \sqrt{b^{2} + 4 b})}$ ; $\dim = 8$ .

Классы, полученные из простой кубики, см. рис. 4.

4.1. $y^{2} = x [{(x - a)}^{2} + 1]$ , где $a \in ℝ$ ; $\dim = 7$ .

4.2. $x y^{2} = - (x + a) [{(x - b)}^{2} + 1]$ , где $a > 0$ и $b \in ℝ$ ; $\dim = 8$ .

4.3. $x y^{2} = - [{(x - a)}^{2} + 1]$ , где $a \in ℝ$ ; $\dim = 7$ .

4.4. $x y^{2} = - (x - a) [{(x - b)}^{2} + 1]$ , где $a > 0$ и $b < \frac{a^{2} - 4}{4 a}$ ; $\dim = 8$ .

4.5. $x y^{2} = - (x - a) [{(x - \frac{a^{2} - 4}{4 a})}^{2} + 1]$ , где $a > 0$ ; $\dim = 7$ .

4.6. $x y^{2} = - (x - a) [{(x - b)}^{2} + 1]$ , где $a > 0$ и $b > \frac{a^{2} - 4}{4 a}$ ; $\dim = 8$ .

4.7. $x y^{2} = c [(x - a)^{2} + 1] (y + x - b)$ , где $a \in ℝ$ , $b \geq 0$ и $- 4 < c < 0$ ; $\dim = 9$ .

4.8. $x y^{2} = - 4 [(x - a)^{2} + 1] (y + x - b)$ , где $a \in ℝ$ , $b \geq 0$ и $b \neq 2 a$ ; $\dim = 8$ .

4.9. $x y^{2} = c [(x - a)^{2} + 1] (y + x - b)$ , где $a \in ℝ$ , $b \geq 0$ , $\sqrt{c (c + 4) (a^{2} + 1)} < a c - 2 b$ , $0 < c < 2 [a^{2} - a b + 1 + \sqrt{(a^{2} - a b + 1)^{2} + b^{2}}]$ , $\frac{a c + 2 b + \sqrt{(a c + 2 b)^{2} - c (c + 4) (a^{2} + 1)}}{c + 4} < \frac{(c + 4) (a^{2} + 1) (β - b)}{(2 a - b)^{2} - (c + 4) (a^{2} + 1) (α + 1)}$ , $\sqrt{c (c + 4) (a^{2} + 1)} < a c + 2 b$ , $α = \frac{c - \sqrt{c^{2} + 4 c}}{2}$ и $β = - c [a - \frac{a (c + 2) + b}{\sqrt{c^{2} + 4 c}}]$ ; $\dim = 9$ .

Классы, полученные из кубики с овалом, см. рис. 5.

5.1. $y^{2} = x (x + 1) (x + a)$ , где $a > 1$ ; $\dim = 7$ .

5.2. $x y^{2} = - (x + 1) (x + a) (x + b)$ , где $1 < a < b$ ; $\dim = 8$ .

5.3. $x y^{2} = - (x + 1) (x + a)$ , где $a > 1$ ; $\dim = 7$ .

5.4. $x y^{2} = - (x + a) (x + 1) (x - b)$ , где $a > 1$ и $b > 0$ ; $\dim = 8$ .

5.5. $x y^{2} = (x + 1) (x - a)$ , где $a > 0$ ; $\dim = 7$ .

5.6. $x y^{2} = - (x + 1) (x - a) (x - b)$ , где $0 < a < b$ ; $\dim = 8$ .

5.7. $x y^{2} = - (x - 1) (x - a)$ , где $a > 1$ ; $\dim = 7$ .

5.8. $x y^{2} = (x - a) (x - 1) (x - b)$ , где $0 < a < 1 < b$ и $b > (\sqrt{a} + 1)^{2}$ ; $\dim = 8$ .

5.9. $x y^{2} = (x - a) (x - 1) [x - (\sqrt{a} + 1)^{2}]$ , где $0 < a < 1$ ; $\dim = 7$ .

5.10. $x y^{2} = (x - a) (x - 1) (x - b)$ , где $0 < a < 1 < b$ и $b < (\sqrt{a} + 1)^{2}$ ; $\dim = 8$ .

5.11. $x y^{2} = c (x + 1) (x + a) (x + y - b)$ , где $a > 1$ , $b > - 1$ и $- 4 < c < 0$ ; $\dim = 9$ .

5.12. $x y^{2} = b (x + 1) (x + y - a)$ , где $a > - 1$ и $b \in ℝ$ ; $\dim = 8$ .

5.13. $x y^{2} = c (x + 1) (x - a) (x + y - b)$ , где $a > 0$ , $- 1 < b < a$ и $c > 0$ ; $\dim = 9$ .

5.14. $x y^{2} = - 4 (x + 1) (x + a) (x + y - b)$ , где $a > 1$ и $b > - 1$ ; $\dim = 8$ .

5.15. $x y^{2} = c (x - a) (x - 1) (x + y - b)$ , где $0 < a < 1 < b$ , $c > 0$ , $\frac{a c (β - b)}{β^{2} - c [a (α + 1) - (a + 1) (β - b)]} > \frac{c (a + 1) + 4 b + \sqrt{𝒟}}{2 (c + 4)}$ , $𝒟 = [c (a - 1) + 4 b]^{2} + 16 c (b - a)$ , $α = \frac{c - \sqrt{c^{2} + 4 c}}{2}$ , $β = \frac{c [b + (a + 1) (α + 1)]}{c - 2 α}$ ; $\dim = 9$ .

См. также

Литература

Шаблон:Примечания

↑ Шаблон:Книга Русский перевод «Перечисление кривых третьего порядка» в книге Исаак Ньютон, «Математические работы» (пер. с латинского Д. Д. Мордухай-Болтовского), 1937, стр. 194—209, доступно постранично on-line на Шаблон:Cite web.
↑ ^2,0 ^2,1 Шаблон:Книга
↑ Корчагин А. Б., Ньютонова и аффинная классификации нераспадающихся кубик, Алгебра и анализ, Т. 24(2012), № 5, стр. 94–123. Engl. transl.: Korchagin A. B., Newtonian and affine classifications of irreducible cubics, St. Petersburg Math. J., Vol. 24, 2013, pp. 759-781.

[N1-1] Шаблон:Книга Русский перевод «Перечисление кривых третьего порядка» в книге Исаак Ньютон, «Математические работы» (пер. с латинского Д. Д. Мордухай-Болтовского), 1937, стр. 194—209, доступно постранично on-line на Шаблон:Cite web.

[N2-2] 2,0 ^2,1 Шаблон:Книга

[N3-3] Корчагин А. Б., Ньютонова и аффинная классификации нераспадающихся кубик, Алгебра и анализ, Т. 24(2012), № 5, стр. 94–123. Engl. transl.: Korchagin A. B., Newtonian and affine classifications of irreducible cubics, St. Petersburg Math. J., Vol. 24, 2013, pp. 759-781.

[1]

[2]

[3]

Аффинная классификация кубик

См. также

Литература

Навигация

Поиск