Изометрическая эквивалентность

Шаблон:Нет ссылок Два множества $A,B\in {ℝ}^n$ называются изометрически эквивалентными, если существует движение $f:{ℝ}^n\to {ℝ}^n$, переводящее $A$ в $B$. то есть$f(A)=B$.

Изометрическая эквивалентность является отношением эквивалентности на множестве всех подмножеств $𝒫({ℝ}^n)$ множества ${ℝ}^n$ и, в частности, на любом подмножестве $X\subset 𝒫({ℝ}^n)$.

Например, если $X\subset 𝒫({ℝ}^2)$ —- множество всех неприводимых коник на плоскости, то изометрическая эквивалентность разбивает его на четыре семейства классов эквивалентности, представителями которых являются четыре стандартные семейства коник:

•    $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$  — двупараметрическое семейство вещественных эллипсов, $0<b\le a$;
•    $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$  — двупараметрическое семействогипербол, $0<b\le a$;
•    $y^2=2px$  — однопараматрическое семейство парабол, $0<p$;
•    $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=-1$  — двупараметрическое семейство мнимых эллипсов, $0<b\le a$.

Другими словами, изометрическая эквивалентность доставляет изометрическую классификацию коник на плоскости: каждая неприводимая коника на плоскости изометрически эквивалентна только одной из перечисленных стандартных коник.

См. также

• Аффинная эквивалентность
• Классификации кубик Ньютона
• Аффинная классификация кубик