Логарифмическая производная

Логарифмическая произво́дная — производная от натурального логарифма функции.

$(\ln f{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f}$

Часто применяется для упрощения нахождения производной некоторых функций, например сложно-показательных.

Применение

Производная степенно-показательной функции

Пусть $f(x)=u(x{)}^{g(x)}$ (для краткости $f=u^g$, где u и g - функции).

Тогда $\ln f=\ln u^g=g\ln u$, $(\ln f{)}^{\prime }=(g\ln u{)}^{\prime }=g^{\prime }\cdot \ln u+g\cdot \frac{u^{\prime }}{u}$. С другой стороны, $(\ln f{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }}{f}$, т.е. $f^{\prime }=f\cdot (\ln f{)}^{\prime }$.

Окончательно имеем $(u^g{)}^{\prime }=u^g(g^{\prime }\cdot \ln u+g\cdot \frac{u^{\prime }}{u})$

Производная произведения функций

Пусть задана функция $f(x)=\prod _{i=1}^n{g}_i(x)$ (для краткости $f=\prod _{i=1}^n{g}_i$).

Так как $f^{\prime }=f\cdot (\ln f{)}^{\prime }=\prod _{i=1}^n{g}_i(\ln \prod _{j=1}^n{g}_j{)}^{\prime }=\prod _{i=1}^n{g}_i(\sum _{j=1}^n\ln g_j{)}^{\prime }=\prod _{i=1}^n{g}_i\sum _{j=1}^n(\ln g_j{)}^{\prime }=\prod _{i=1}^n{g}_i\sum _{j=1}^n\frac{{g_j}^{\prime }}{g_j}$.

Окончательно получаем: $f^{\prime }=(\prod _{i=1}^n{g}_i{)}^{\prime }=\prod _{i=1}^n{g}_i\sum _{j=1}^n\frac{{g_j}^{\prime }}{g_j}=f\cdot \sum _{j=1}^n\frac{{g_j}^{\prime }}{g_j}$.

Можно расписать формулу и прийти к другой форме:

Если $f=g_1\cdot g_2\cdot \dots \cdot g_n$, то $f^{\prime }=g_1\cdot g_2\cdot \dots \cdot g_n\cdot (\frac{{g_1}^{\prime }}{g_1}+\frac{{g_2}^{\prime }}{g_2}+\dots +\frac{{g_n}^{\prime }}{g_n})$

Раскрыв скобки, получим: $f^{\prime }={g_1}^{\prime }\cdot g_2\cdot \dots \cdot g_n+g_1\cdot {g_2}^{\prime }\cdot \dots \cdot g_n+\dots +g_1\cdot g_2\cdot \dots \cdot {g_n}^{\prime }$

В частности, если $f=\frac{u_1^{{\alpha }_1}\cdot u_2^{{\alpha }_2}\cdot \dots \cdot u_m^{{\alpha }_m}}{v_1^{{\beta }_1}\cdot v_2^{{\beta }_2}\cdot \dots \cdot v_n^{{\beta }_n}}$, то $f^{\prime }=\frac{u_1^{{\alpha }_1}\cdot u_2^{{\alpha }_2}\cdot \dots \cdot u_m^{{\alpha }_m}}{v_1^{{\beta }_1}\cdot v_2^{{\beta }_2}\cdot \dots \cdot v_n^{{\beta }_n}}\cdot ({\alpha }_1\cdot \frac{{u_1}^{\prime }}{u_1}+{\alpha }_2\cdot \frac{{u_2}^{\prime }}{u_2}+\dots +{\alpha }_m\cdot \frac{{u_m}^{\prime }}{u_m}-{\beta }_1\cdot \frac{{v_1}^{\prime }}{v_1}-{\beta }_2\cdot \frac{{v_2}^{\prime }}{v_2}-\dots -{\beta }_n\cdot \frac{{v_n}^{\prime }}{v_n})$

Пример

Найдем производную, $\frac{df}{dx}$ от функции $f(x)=x^x$:

$\frac{df}{dx}=f(\ln f{)}^{\prime }=x^x(x\ln x{)}^{\prime }=x^x(\ln x+1)$

См. также

• Производная