Размерность Хаусдорфа

Шаблон:Значения Размерность Хаусдорфа, или хаусдорфова размерность — естественный способ определить размерность подмножества в метрическом пространстве. Размерность Хаусдорфа согласуется с нашими обычными представлениями о размерности в тех случаях, когда эти обычные представления есть. Например, в трёхмерном евклидовом пространстве хаусдорфова размерность конечного множества равна нулю, размерность гладкой кривой — единице, размерность гладкой поверхности — двум и размерность множества ненулевого объёма — трём. Для более сложных (фрактальных) множеств размерность Хаусдорфа может не быть целым числом.

Определение

Определение размерности Хаусдорфа состоит из нескольких шагов. Пусть $\mathrm{\Omega }$ — ограниченное множество в метрическом пространстве $X$.

ε-покрытия

Пусть $\epsilon >0$. Не более чем счётный набор $\{{\omega }_i{\}}_{i\in I}$ подмножеств пространства $X$ будем называть $\epsilon$-покрытием множества $\mathrm{\Omega }$, если выполнены следующие два свойства:

• $\mathrm{\Omega }\subset \bigcup _{i\in I}{\omega }_i$
• для любого $i\in I$ $|{\omega }_i|<\epsilon$ (здесь и далее $|\omega |$ означает диаметр множества $\omega$).

α-мера Хаусдорфа

Пусть $\alpha >0$. Пусть $\mathrm{\Theta }=\{{\omega }_i{\}}_{i\in I}$ — покрытие множества $\mathrm{\Omega }$. Определим следующую функцию, в некотором смысле показывающую «размер» этого покрытия: $F_{\alpha }(\mathrm{\Theta }):=\sum _{i\in I}|{\omega }_i{|}^{\alpha }$.

Обозначим через $M_{\alpha }^{\epsilon }(\mathrm{\Omega })$ «минимальный размер» $\epsilon$-покрытия множества $\mathrm{\Omega }$: $M_{\alpha }^{\epsilon }(\mathrm{\Omega }):=\inf (F_{\alpha }(\mathrm{\Theta }))$, где инфимум берётся по всем $\epsilon$-покрытиям множества $\mathrm{\Omega }$.

Очевидно, что функция $M_{\alpha }^{\epsilon }(\mathrm{\Omega })$ (нестрого) возрастает при уменьшении $\epsilon$, поскольку при уменьшении $\epsilon$ мы только сжимаем множество возможных $\epsilon$-покрытий. Следовательно, у неё есть конечный или бесконечный предел при $\epsilon \to 0+$:

$M_{\alpha }(\mathrm{\Omega })=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\epsilon \to 0+}{M}_{\alpha }^{\epsilon }(\mathrm{\Omega })$.

Величина $M_{\alpha }(\mathrm{\Omega })$ называется $\alpha$-мерой Хаусдорфа множества $\mathrm{\Omega }$.

Свойства α-меры Хаусдорфа

• $\alpha$-мера Хаусдорфа является борелевской мерой на $X$.
• с точностью до умножения на коэффициент: 1-мера Хаусдорфа для гладких кривых совпадает с их длиной; 2-мера Хаусдорфа для гладких поверхностей совпадает с их площадью; $d$-мера Хаусдорфа множеств в ${ℝ}^d$ совпадает с их $d$-мерным объёмом.
• $M_{\alpha }(\mathrm{\Omega })$ убывает по $\alpha$. Более того, для любого множества $\mathrm{\Omega }$ существует критическое значение ${\alpha }_0$, такое, что:
  • $M_{\alpha }(\mathrm{\Omega })=+\mathrm{\infty }$ для всех $\alpha <{\alpha }_0$
  • $M_{\alpha }(\mathrm{\Omega })=0$ для всех $\alpha >{\alpha }_0$

Значение $M_{{\alpha }_0}(\mathrm{\Omega })$ может быть нулевым, конечным положительным или бесконечным.

Определение размерности Хаусдорфа

Размерностью Хаусдорфа ${\dim }_H\mathrm{\Omega }$ множества $\mathrm{\Omega }$ называется число ${\alpha }_0$ из предыдущего пункта.

Примеры

Для самоподобных множеств размерность Хаусдорфа может быть вычислена явно. Неформально говоря, если множество разбивается на $n$ частей, подобных исходному множеству с коэффициентами $r_1,r_2,\dots ,r_n$, то его размерность $s$ является решением уравнения $r_1^s+r_2^s+\dots +r_n^s=1$. Например,

• размерность множества Кантора равна $\ln 2/\ln 3$ (разбивается на две части, коэффициент подобия 1/3),
• размерность треугольника Серпинского — $\ln 3/\ln 2$ (разбивается на 3 части, коэффициент подобия 1/2),
• размерность кривой дракона — $2$ (разбивается на 2 части, коэффициент подобия $\sqrt{1/2}$).

Свойства

• Размерность Хаусдорфа любого множества не превосходит нижней и верхней размерностей Минковского.
• Размерность Хаусдорфа не более чем счётного объединения множеств равна максимуму из их размерностей.
  • В частности, добавление счётного множества к любому множеству не меняет его размерности.
• Для произвольных метрических пространств $X$ и $Y$ выполняется соотношение

  ${\dim }_H(X\times Y)\ge {\dim }_H(X)+{\dim }_H(Y).$

  • Для некоторых пар $X$ и $Y$ неравенство строгое, более того такую пару можно выбрать из компактных подмножеств вещественной прямой.

См. также

• Фрактал
• Размерность Минковского

Литература

• Шаблон:Книга