Размерность Минковского

Шаблон:Значения Размерность Минковского или грубая размерность ограниченного множества в метрическом пространстве равна

$\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{\epsilon \to 0}\frac{\ln (N_{\epsilon })}{-\ln (\epsilon )}$,

где $N_{\epsilon }$ — минимальное число множеств диаметра $\epsilon$, которыми можно покрыть наше множество. Если предел не существует, то можно рассматривать верхний и нижний предел и говорить соответственно о верхней и нижней размерности Минковского.

Близким к размерности Минковского понятием является размерность Хаусдорфа. Во многих случаях эти размерности совпадают, хотя существуют множества, для которых они различны.

Примеры

• размерность конечного множества равна нулю, так как для него $\rho (n)$ не превосходит количества элементов в нём.
• размерность отрезка равна 1, так как необходимо $\lceil a/ϵ\rceil$ отрезков длины $ϵ$, чтобы покрыть отрезок длины $a$. Таким образом,

  $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to 0}\frac{\ln (N_{ϵ})}{-\ln (ϵ)}=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{ϵ\to 0}\frac{\ln a-\ln ϵ}{-\ln ϵ}=1$,

• размерность квадрата равна 2, так как число квадратиков с диагональю $1/n$, необходимых, чтобы покрыть квадрат со стороной $a$, ведет себя примерно как $a^2{n}^2$.
• размерность фрактального множества может быть дробным числом. Так, размерность кривой Коха равна $\ln 4/\ln 3$.

• размерность Минковского множества $\{0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4},\dots \}$ равна 1/2.

Свойства

• Размерность Минковского конечного объединения множеств равна максимуму из их размерностей. В отличие от размерности Хаусдорфа, это неверно для счётного объединения. Например, множество рациональных чисел между 0 и 1 имеет размерность Минковского 1, хотя является счётным объединением одноэлементных множеств (размерность каждого из которых равна 0). Пример замкнутого счётного множества с ненулевой размерностью Минковского приведён выше.
• Нижняя размерность Минковского любого множества больше либо равна его размерности Хаусдорфа.
• Размерность Минковского любого множества равна размерности Минковского его замыкания. Поэтому имеет смысл говорить лишь о размерностях Минковского замкнутых множеств.

См. также

• Размерность Хаусдорфа
• Фрактал
• Эпсилон-энтропия

Литература

• Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: Наука, 1973
• Кроновер Р. М. Фракталы и хаос в динамических системах М.: ПОСТМАРКЕТ, 2000

Шаблон:Rq Шаблон:Фракталы Шаблон:Размерность