Логнормальное распределение

Логнорма́льное распределе́ние (логарифмически-нормальное) в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Определение

Пусть распределение случайной величины $X$ задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

$$f_X(x)=\frac{1}{x\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-(\ln x-\mu {)}^2/2{\sigma }^2},$$

где $x>0,\sigma >0,\mu \in ℝ$. Тогда говорят, что $X$ имеет логнормальное распределение с параметрами $\mu$ и $\sigma$. Пишут: $X\sim \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$.

Моменты

Формула для $k$-го момента логнормальной случайной величины $X$ имеет вид:

$𝔼\left[X^k\right]=e^{k\mu +\frac{k^2{\sigma }^2}{2}},k\in \mathbb{N},$

откуда, в частности:

• $𝔼[X]=e^{\mu +\frac{{\sigma }^2}{2}}$ — математическое ожидание,
• $\mathrm{D}[X]=(e^{{\sigma }^2}-1)e^{2\mu +{\sigma }^2}$ — дисперсия,
• Асимметрия всегда положительна.

Любые нецентральные моменты n-мерного совместного логнормального распределения могут быть вычислены по простой формулеШаблон:Нет АИ:

${\alpha }_n=e^{(\mu ,n)+\frac{1}{2}(n,\mathrm{\Sigma }n)}$, где $\mu$ и $\mathrm{\Sigma }$ — параметры многомерного совместного распределения. $n$ — вектор, компоненты которого задают порядок момента. (Например, в двухмерном случае, $n=(2,0)$ — второй нецентральный момент первой компоненты, $n=(1,1)$ — смешанный второй момент). Круглые скобки обозначают скалярное произведение.

Свойства логнормального распределения

• Если $X_1,\dots ,X_n$ — независимые логнормальные случайные величины, такие что $X_i\sim \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{N}(\mu ,{\sigma }_i^2)$, то их произведение также логнормально:

  $Y=\prod _{i=1}^n{X}_i\sim \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{N}(n\mu ,\sum _{i=1}^n{\sigma }_i^2)$.

Связь с другими распределениями

• Если $X\sim \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$, то $Y=\ln (X)\sim \mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$.

И наоборот, если $Y\sim \mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$, то $X=\exp (Y)\sim \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}\mathrm{N}(\mu ,{\sigma }^2)$.

Моделирование логнормальных случайных величин

Для моделирования обычно используется связь с нормальным распределением. Поэтому, достаточно сгенерировать нормально распределённую случайную величину, например, используя преобразование Бокса — Мюллера, и вычислить её экспонентуШаблон:Нет АИ.

Вариации и обобщения

Одним из возможных обобщений является усечённое логнормальное распределение, описываемое плотностью вероятности:

$f_X(x)=\frac{1}{(x-\gamma )\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-(\ln (x-\gamma )-\mu {)}^2/2{\sigma }^2},$

где $0<\gamma <x$.

Приложения

Логнормальное распределение часто возникает в природе и широко используется для описания разных параметров в различных дисциплинах. Например, в медицине его могут применять для инкубационных периодов случаев какого-либо заболевания, в геологии — для концентрации редких элементов в горных породах, в лингвистике — для количества слов в предложениях. Распределение частиц по размерам в разных системах также часто оказывается близко к логнормальному. Однако здесь есть исключения, например, распределение астероидов по размерам в Солнечной системе подчиняется степенному закону.

Литература

• Шаблон:Citation
• Aitchison, J. and Brown, J.A.C. (1957) The Lognormal Distribution, Cambridge University Press.
• Eric W. Weisstein et al. Log Normal Distribution at MathWorld. Electronic document, retrieved October 26, 2006.
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья