Преобразование Бокса — Мюллера

Преобразование Бокса — Мюллера — метод моделирования стандартных нормально распределённых случайных величин. Имеет два варианта. Метод является точным, в отличие, например, от методов, основывающихся на центральной предельной теореме.

Метод был опубликован в 1958 году Джорджем Боксом и Мервином Мюллером.

Первый вариант

Пусть $r$ и $\phi$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на интервале $(0,1]$. Вычислим $z_0$ и $z_1$ по формулам

$z_0=\cos (2\pi \phi )\sqrt{-2\ln r},$

$z_1=\sin (2\pi \phi )\sqrt{-2\ln r}.$

Тогда $z_0$ и $z_1$ будут независимы и распределены нормально с математическим ожиданием 0 и дисперсией 1. При реализации на компьютере обычно быстрее не вычислять обе тригонометрические функции — $\cos (\cdot )$ и $\sin (\cdot )$ — а рассчитать одну из них через другую. Ещё лучше воспользоваться вместо этого вторым вариантом преобразования Бокса — Мюллера.

Второй вариант

Пусть $x$ и $y$ — независимые случайные величины, равномерно распределённые на отрезке $[-1,1]$. Вычислим $s=x^2+y^2$. Если окажется, что $s>1$ или $s=0$, то значения $x$ и $y$ следует «выбросить» и сгенерировать заново. Как только выполнится условие $0<s⩽1$, по формулам

$z_0=x\cdot \sqrt{\frac{-2\ln s}{s}}$

и

$z_1=y\cdot \sqrt{\frac{-2\ln s}{s}}$

следует рассчитать $z_0$ и $z_1$, которые, как и в первом случае, будут независимыми величинами, удовлетворяющими стандартному нормальному распределению.

Коэффициент использования базовых случайных величин для первого варианта, очевидно, равен единице. Для второго варианта это отношение площади окружности единичного радиуса к площади квадрата со стороной два, то есть $\pi /4\approx 0,785$. Тем не менее, на практике второй вариант обычно оказывается быстрее, за счёт того, что в нём используется только одна трансцендентная функция, $\ln (\cdot )$. Это преимущество для большинства реализаций перевешивает необходимость генерации большего числа равномерно распределённых случайных величин.

Переход к общему нормальному распределению

После получения стандартной нормальной случайной величины $z$, можно легко перейти к величине $\xi \sim N(\mu ,{\sigma }^2)$ распределённой нормально с математическим ожиданием $\mu$ и стандартным отклонением $\sigma$ по формуле

$\xi =\mu +\sigma z.$

Это уже не является частью преобразования Бокса — Мюллера, но позволяет завершить генерацию нормальной случайной величины.

См. также

• Алгоритм Зиккурат

Ссылки

• Преобразование равномерно распределенной случайной величины в нормально распределенную Шаблон:Wayback