Теорема Линдемана — Вейерштрасса

Теорема Линдемана — Вейерштрасса, являющаяся обобщением теоремы Линдемана, доказывает трансцендентность большого класса чисел. Теорема утверждает следующее: Шаблон:Рамка Если ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_n$ — различные алгебраические числа, линейно независимые над $\mathbb{Q}$, то $e^{{\alpha }_1},e^{{\alpha }_2},\dots e^{{\alpha }_n}$ являются алгебраически независимыми над $\mathbb{Q}$, то есть, степень трансцендентности расширения $\mathbb{Q}(e^{{\alpha }_1},e^{{\alpha }_2},\dots e^{{\alpha }_n})$ равна $n$ Шаблон:Конец рамки Часто используется другая эквивалентная формулировка: Шаблон:Рамка Для любых различных алгебраических чисел ${\alpha }_1,{\alpha }_2,\dots {\alpha }_n$ числа $e^{{\alpha }_1},e^{{\alpha }_2},\dots e^{{\alpha }_n}$ являются линейно независимыми над полем алгебраических чисел $\bar{\mathbb{Q}}$. Шаблон:Конец рамки

История

В 1882 году Линдеман доказал, что $e^{\alpha }$ трансцендентно для любого ненулевого алгебраического $\alpha$, а в 1885 году Карл Вейерштрасс доказал более общее утверждение, приведённое выше.

Из теоремы Линдемана — Вейерштрасса легко следует трансцендентность чисел e и π.

Доказательство трансцендентности π

Применим метод доказательства от противного. Предположим, число $\pi$ является алгебраическим. Тогда число $i\pi$, где $i$ — мнимая единица, также алгебраично, следовательно, по теореме Линдемана — Вейерштрасса число $e^{i\pi }$ трансцендентно, однако согласно тождеству Эйлера оно равно алгебраическому числу $-1$, что вызывает противоречие. Следовательно, число $\pi$ трансцендентно.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шидловский А. Б. «Диофантовы приближения и трансцендентные числа» (М. ФИЗМАТЛИТ, 2007) ISBN 978-5-9221-0720-4