Логарифмическое распределение

Логарифмическое распределение в теории вероятностей — класс дискретных распределений. Логарифмическое распределение используется в различных приложениях, включая математическую генетику и физику.

Определение

Пусть распределение случайной величины $Y$ задаётся функцией вероятности:

$p_Y(k)\equiv \mathbb{P}(Y=k)=-\frac{1}{\ln (1-p)}\frac{p^k}{k},k=1,2,3,\dots$,

где $0<p<1$. Тогда говорят, что $Y$ имеет логарифмическое распределение с параметром $p$. Пишут: $Y\sim \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(p)$.

Функция распределения случайной величины $Y$ кусочно-постоянна со скачками в натуральных точках:

$F_Y(y)=\{\begin{array}{ccc}0,& y<1& \\ 1+\frac{{\mathrm{B}}_p(k+1,0)}{\ln (1-p)},& y\in [k,k+1),& k=1,2,3,\dots \end{array},$

где ${\mathrm{B}}_p$ — неполная бета-функция.

Замечание

То, что функция $p_Y(k)$ действительно является функцией вероятности некоторого распределения, следует из разложения логарифма в ряд Тейлора:

$\ln (1-p)=-\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{p^k}{k};0<p<1$,

откуда

$\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{p}_Y(k)=1$.

Моменты

Производящая функция моментов случайной величины $Y\sim \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(p)$ задаётся формулой

$M_Y(t)=\frac{\ln [1-p{e}^t]}{\ln [1-p]}$,

откуда

$𝔼[Y]=-\frac{1}{\ln (1-p)}\frac{p}{1-p}$,

$\mathrm{D}[Y]=-p\frac{p+\ln (1-p)}{(1-p{)}^2{\ln }^2(1-p)}$.

Связь с другими распределениями

Пуассоновская сумма независимых логарифмических случайных величин имеет отрицательное биномиальное распределение. Пусть $\{X_i{\}}_{i=1}^n$ последовательность независимых одинаково распределённых случайных величин, таких что $X_i\sim \mathrm{L}\mathrm{o}\mathrm{g}(p),i=1,2,\dots$. Пусть $N\sim \mathrm{P}(\lambda )$ — Пуассоновская случайная величина. Тогда

$Y=\sum _{i=1}^N{X}_i\sim \mathrm{N}\mathrm{B}$.

Приложения

Логарифмическое распределение удовлетворительно описывает распределение по размерам астероидов в солнечной системеШаблон:Нет АИ.

Шаблон:Список вероятностных распределений