Отрицательное биномиальное распределение

Отрица́тельное биномиа́льное распределе́ние, также называемое распределением Паскаля — это распределение дискретной случайной величины, равной числу произошедших неудач в последовательности испытаний Бернулли с вероятностью успеха $p$, проводимых до $r$-го успеха.

Определение

Пусть $\{X_i{\}}_{i=1}^{\mathrm{\infty }}$ — последовательность независимых случайных величин с распределением Бернулли, то есть

$X_i=\{\begin{array}{cc}1,& p\\ 0,& q\equiv 1-p\end{array},i\in \mathbb{N}.$

Построим случайную величину $Y$ следующим образом. Пусть $k+r$ — номер $r$-го успеха в этой последовательности. Тогда $Y=k$. Более строго, положим $S_n=\sum _{i=1}^n{X}_i$. Тогда

$Y=\inf \{n\mid S_n=r\}-r$.

Распределение случайной величины $Y$, определённой таким образом, называется отрицательным биномиальным. Пишут: $Y\sim \mathrm{N}\mathrm{B}(r,p)$.

Функции вероятности и распределения

Функция вероятности случайной величины $Y$ имеет вид:

$\mathbb{P}(Y=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{k+r-1}{k})p^r{q}^k,k=0,1,2,\dots$.

Функция распределения $Y$ кусочно-постоянна, и её значения в целых точках может быть выражено через неполную бета-функцию:

$F_Y(k)=I_p(r,k+1)$.

Моменты

Производящая функция моментов отрицательного биномиального распределения имеет вид:

$M_Y(t)={\left(\frac{p}{1-q{e}^t}\right)}^r$,

откуда

$𝔼[Y]=\frac{rq}{p}$

$\mathrm{D}[Y]=\frac{rq}{p^2}$

Свойства

Пусть $Y_i\sim NB(r_i,p)$, тогда $\sum _i{Y}_i\sim NB(\sum _i{r}_i,p)$

Частные случаи отрицательного биномиального распределения

• При r→∞ отрицательное биномиальное распределение становится распределением Пуассона
• Если параметр r - целое число, то отрицательное биномиальное распределение становится обобщенным распределением Бозе-Эйнштейна .
• При r=1 отрицательное биномиальное распределение становится геометрическим распределением
• При r=1 получающееся геометрическое распределение является распределением Бозе-Эйнштейна для одного источника (a single source) .