Распределение Бернулли

Распределе́ние Берну́лли в теории вероятностей и математической статистике — дискретное распределение вероятностей, моделирующее случайный эксперимент произвольной природы, при заранее известной вероятности успеха или неудачи.

Определение

Случайная величина $X$ имеет распределение Бернулли, если она принимает всего два значения: $1$ и $0$ с вероятностями $p$ и $q\equiv 1-p$ соответственно. Таким образом:

$\mathbb{P}(X=1)=p$,

$\mathbb{P}(X=0)=q$.

Принято говорить, что событие $\{X=1\}$ соответствует «успеху», а событие $\{X=0\}$ — «неудаче». Эти названия условные, и в зависимости от конкретной задачи могут быть заменены на противоположные.

Свойства

Предельное свойство

Предельное свойство описывается теоремой Пуассона:

Пусть есть последовательность серий испытаний Бернулли, где $p_n$ — вероятность «успеха», ${\mu }_n$ — количество «успехов».

Тогда если

1. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{p}_n=0;$
2. $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}n{p}_n=\lambda ;$
3. $\lambda >0,$

то $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}P(\omega :{\mu }_n(\omega )=m)=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^m}{m!}.$

Моменты распределения Бернулли

$𝔼[X]=p$,

$\mathrm{D}[X]=p(1-p)=pq$, так как: $\mathrm{E}{X}^2-{(\mathrm{E}X)}^2=p-p^2=p\cdot (1-p)=pq$.

Вообще, легко видеть, что

$𝔼\left[X^n\right]=Pr(X=1)\cdot 1^n+Pr(X=0)\cdot 0^n=p\cdot 1^n+q\cdot 0^n=p=𝔼[X],\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}$

Замечание

Если независимые случайные величины $X_1,\dots ,X_n$, имеют распределение Бернулли с вероятностью успеха $p$, то

$Y=\sum _{i=1}^n{X}_i$

имеет биномиальное распределение с $n$ степенями свободы.

См. также

• Задача о разорении игрока#Схема Бернулли.

Литература

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Binomial distribution", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4