Теорема Пуассона

Теорема Пуассона (предельная теорема Пуассона) — утверждение теории вероятностей о сходимости распределений сумм независимых случайных величин в схеме Бернулли к распределению Пуассона. Установлена Пуассоном в 1837 году.

В общей формулировке для последовательности серий независимых испытаний $\{X_{nj}{\}}_{j=1}^n$ с вероятностями наступления событий:

$p_{nj}=\mathrm{P}\{X_{nj}=1\}=1-P\{X_{nj}=0\}$

такими, что при больших $n$ они в пределе стремятся к нулю:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{1⩽j⩽n}{\max }{p}_{nj}=0$,

при этом в сумме в серии конечны и отличны от нуля:

$0<\lambda =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sum _{j=1}^n{p}_{nj}<\mathrm{\infty }$,

для событий $S_n=X_{n1}+\dots +X_{nn}$ предельное утверждение теоремы для всех $k=0,1,\dots$:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\mathrm{P}\{S_n=k\}=e^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}$.

Шаблон:ЯкорьШироко распространена интерпретация результата как закона малых чисел (Борткевич, 1908)Шаблон:Sfn или как теоремы о редких событиях для схемы Бернулли: при малой вероятности $p$ наступления каждого из событий по мере роста количества испытаний $n$ вероятности того, что событие наступило $k$ раз, приближаются кШаблон:Sfn:

$\frac{(np{)}^k}{k!}{e}^{-np}$.

Вместе с теоремой Муавра — Лапласа теорема Пуассона даёт характеристику асимптотического поведения биномиального распределенияШаблон:Sfn.

Шаблон:ЯкорьНеравенство Ле Кама: скорость сходимости (в общей формулировке) может быть оценена:

$|\mathrm{P}\{S_n=k\}-\exp (-\sum _{j=1}^n{p}_{nj}\left)\frac{(\sum _{j=1}^n{p}_{nj}{)}^k}{k!}\right|⩽2\cdot \sum _{j=1}^n{p}_{nj}^2$;

например, при $p_{n1}=\dots =p_{nn}=\lambda /n$ оценка ошибки — ${2{\lambda }^2}^{}{/}_n$, которая уменьшается по мере роста $n$.

Обобщения результата развивались по двум направлениямШаблон:Sfn — уточнения, основанные на асимптотических разложениях, и нахождение более общих условий сходимости сумм независимых случайных величин к распределению ПуассонаШаблон:Sfn.

Литература

• Шаблон:БРЭ
• Шаблон:Книга:ВМСЭ
• Шаблон:МатЭнц
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга