Локальная теорема Муавра — Лапласа

С ростом n форма биномиальной фигуры распределения становится похожа на плавную кривую Гаусса.

Теорема Муавра — Лапласа — одна из предельных теорем теории вероятностей, установлена Лапласом в 1812 году. Если при каждом из $n$ независимых испытаний вероятность появления некоторого случайного события $E$ равна $p\in (0,1)$, и $m$ — число испытаний, в которых $E$ фактически наступает, то вероятность справедливости неравенства близка (при больших $n$) к значению интеграла Лапласа.

Применение

При рассмотрении количества $m$ появлений события $A$ в $n$ испытаниях Бернулли чаще всего нужно найти вероятность того, что $m$ заключено между некоторыми значениями $a$ и $b$. Так как при достаточно больших $n$ промежуток $[a,b]$ содержит большое число единиц, то непосредственное использование биномиального распределения

$p_n(m)=\frac{n!}{m!(n-m)!}{p}^m{q}^{n-m}$

требует громоздких вычислений, так как нужно суммировать большое число определённых по этой формуле вероятностей.

Поэтому используют асимптотическое выражение для биномиального распределения при условии, что $p$ фиксировано, а $n\to +\mathrm{\infty }$. Теорема Муавра — Лапласа утверждает, что таким асимптотическим выражением для биномиального распределения является нормальная функция.

Формулировка

Если в схеме Бернулли $n$ стремится к бесконечности, величина $p\in (0,1)$ постоянна, а величина $x_m=\frac{m-np}{\sqrt{npq}}$ ограничена равномерно по $m$ и $n$ (то есть $\mathrm{\exists }a,b:-\mathrm{\infty }<a⩽x_m⩽b<+\mathrm{\infty }$), то

$P_n(m)=\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\exp (-\frac{x_m^2}{2})(1+{\alpha }_n(m))$

где $|{\alpha }_n(m)|<\frac{c}{\sqrt{n}},c=\text{const}>0$.

Приближённую формулу

$P_n(m)\approx \frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\exp (-\frac{x_m^2}{2})$

рекомендуется применять при $n>100$ и при $m>20$.

Доказательство

Для доказательства теоремы будем использовать формулу Стирлинга из математического анализа:

$s!=\sqrt{2\pi }{s}^{s+1/2}{e}^{-s}{e}^{{\theta }_s},$ (1)

где $0<{\theta }_s<1/12s$.

При больших $s$ величина $\theta$ очень мала, и приближённая формула Стирлинга, записанная в простом виде

$s!=\sqrt{2\pi }{s}^{s+1/2}{e}^{-s}$ (2)

даёт малую относительную ошибку, быстро стремящуюся к нулю при $s\to +\mathrm{\infty }$.

Нас будут интересовать значения $m$, не очень отличающиеся от наивероятнейшего. Тогда при фиксированном $p$ условие $n\to +\mathrm{\infty }$ будет также означать, что

$m\to +\mathrm{\infty },n-m\to +\mathrm{\infty }.$ (3)

Поэтому использование приближённой формулы Стирлинга для замены факториалов в биномиальном распределении допустимо, и мы получаем

$p_n(m)\approx \sqrt{\frac{n}{2\pi m(n-m)}}{\left(\frac{np}{m}\right)}^m{\left(\frac{nq}{n-m}\right)}^{n-m}.$ (4)

Также понадобится использование отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения:

$x_m=\frac{m}{n}-p.$ (5)

Тогда выражение (4) приобретает вид:

$p_n(m)={[2\pi n(p+x_m)(q-x_m)]}^{-1/2}{(1+\frac{x_m}{p})}^{-n(p+x_m)}{(1-\frac{x_m}{q})}^{-n(q-x_m)}.$ (6)

Предположим, что

$x_m<pq.$ (7)

Взяв логарифм второго и третьего множителей равенства (6), применим разложение в ряд Тейлора:

$-n[(p+x_m)\ln (1+\frac{x_m}{p})+(q-x_m)\ln (1-\frac{x_m}{q})]=$

$-n[(p+x_m)(\frac{x_m}{p}-\frac{x_m^2}{2p^2}+\frac{x_m^3}{3p^3}-\cdots )+(q-x_m)(-\frac{x_m}{q}-\frac{x_m^2}{2q^2}-\frac{x_m^3}{3q^3}-\cdots )].$ (8)

Располагаем члены этого разложения по степеням $x_m$:

$-n[\frac{x_m^2}{2}(\frac{1}{p}+\frac{1}{q})-\frac{x_m^3}{6}(\frac{1}{p^2}-\frac{1}{q^2})+\cdots ].$ (9)

Предположим, что при $n\to +\mathrm{\infty },$

$n{x}_m^3\to 0.$ (10)

Это условие, как уже было указано выше, означает, что рассматриваются значения $m$ не очень далёкие от наивероятнейшего. Очевидно, что (10) обеспечивает выполнение (7) и (3).

Теперь, пренебрегая вторым и последующими членами в разложении (6), получаем, что логарифм произведения второго и третьего членов произведения в правой части (8) равен

$-\frac{n}{2pq}{x}_m^2.$ (11)

Отбрасывая малые слагаемые в скобках первого множителя (6), получаем

$p_n(m)\approx \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi npq}}\right)\exp (-\frac{n}{2pq}{x}_m^2).$ (12)

Обозначив

$\sigma =\sqrt{\frac{pq}{n}},$ (13)

переписываем (12) в виде

$p_n(m)\approx \frac{1}{n}\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}\exp (-\frac{x_m^2}{2{\sigma }^2})=\frac{1}{n}\phi (x_m),$ (14)

Где $\phi (x_m)$ — нормальная функция.

Поскольку в интервале $[m,m+1)$ имеется только одно целое число $m$, то можно сказать, что $p_n(m)$ есть вероятность попадания $m$ в интервал $[m,m+1)$. Из (5) следует, что изменению $m$ на 1 соответствует изменение $x_m$ на

$\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{n}.$ (15)

Поэтому вероятность попадания $m$ в интервал $[m,m+1)$ равна вероятности попадания $x_m$ в промежуток $[x_{m0},x_{m0}+\mathrm{\Delta }x),$

$P(x_{m0}\le x_m\le x_{m0}+\mathrm{\Delta }x)=\phi (x_m)\mathrm{\Delta }x.$ (16)

Если $n\to +\mathrm{\infty }$, то $\mathrm{\Delta }x\to +0$ и равенство (16) показывает, что нормальная функция $\phi (x)$ является плотностью случайной переменной $x_m$.

Таким образом, если $n\to +\mathrm{\infty },n{x}^3\to 0$ то для отклонения относительной частоты от наивероятнейшего значения справедлива асимптотическая формула (16), в которой $\phi (x)$ — нормальная функция с $x_m=0$ и ${\sigma }^2=\frac{pq}{n}$.

Таким образом, теорема доказана.

Литература

• Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика, — Шаблон:М: Высшее образование. 2005
• Ширяев А. Н. Вероятность, — Шаблон:М: Наука. 1989.
• Чистяков В. П. Курс теории вероятностей, — Шаблон:М, 1982.