Устойчивость (динамические системы)

Шаблон:Другие значения Устойчивость — свойство решения дифференциального уравнения притягивать к себе другие решения при условии достаточной близости их начальных данных. В зависимости от характера притяжения выделяются различные виды устойчивости. Устойчивость является предметом изучения таких дисциплин, как теория устойчивости и теория динамических систем.

Определения

Пусть $\mathrm{\Omega }$ — область фазового пространства ${ℝ}^n$, $I=[\tau ;\mathrm{\infty })$, где $\tau \in ℝ$. Рассмотрим систему дифференциальных уравнений следующего вида: Шаблон:EF где $x\in {ℝ}^n$, функция $f$ определена, непрерывна и удовлетворяет условию Липшица локально по $x$ в области $I\times \mathrm{\Omega }$.

При этих условиях для любых $(t_0,x_0)\in I\times \mathrm{\Omega }$ существует единственное решение $x(t,t_0,x_0)$ системы (1), удовлетворяющее начальным условиям: $x(t_0,t_0,x_0)=x_0$Шаблон:Sfn. Выделим некоторое решение $\phi (t)$, определённое на интервале $J^{+}=[t_0;\mathrm{\infty })$, таком, что $J^{+}\subset I$ и будем называть его невозмущённым решением.

Устойчивость по Ляпунову

Невозмущённое решение $\phi (t)$ системы (1) называется устойчивым по Ляпунову, если для любых $t_0>\tau$ и $\epsilon >0$ существует $\delta >0$, зависящее только от $\epsilon$ и $t_0$ и не зависящее от $t$, такое, что для всякого $x_0$, для которого $\Vert x_0-\phi (t_0)\Vert <\delta$, решение $x$ системы (1) с начальными условиями $x(t_0)=x_0$ продолжается на всю полуось $J^{+}$ и для любого $t\in J^{+}$ удовлетворяет неравенству $\Vert x(t)-\phi (t)\Vert <\epsilon$Шаблон:Sfn.

Символически это записывается так:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0,\mathrm{\forall }{t}_0\in I\mathrm{\exists }\delta (t_0,\epsilon )>0:\mathrm{\forall }{x}_0:\Vert x_0-\phi (t_0)\Vert <\delta \Rightarrow \mathrm{\forall }t\in J^{+}:\Vert x(t,t_0,x_0)-\phi (t)\Vert <\epsilon .$

Невозмущённое решение $\phi (t)$ системы (1) называется неустойчивым, если оно не является устойчивым по Ляпунову, то есть

$\mathrm{\exists }\epsilon >0,\mathrm{\exists }{t}_0\in I:\mathrm{\forall }\delta >0\mathrm{\exists }{x}_0:\Vert x_0-\phi (t_0)\Vert <\delta ,\mathrm{\exists }{t}_{*}>t_0:\Vert x(t_{*},t_0,x_0)-\phi (t_{*})\Vert =\epsilon .$

Равномерная устойчивость

Невозмущённое решение $\phi (t)$ системы (1) называется равномерно устойчивым по Ляпунову, если $\delta$ из предыдущего определения зависит только от $\epsilon$:

$\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta (\epsilon )>0:\mathrm{\forall }{x}_0,\mathrm{\forall }{t}_0\in I:\Vert x_0-\phi (t_0)\Vert <\delta \Rightarrow \mathrm{\forall }t\in J^{+}:\Vert x(t,t_0,x_0)-\phi (t)\Vert <\epsilon .$

Асимптотическая устойчивость

Невозмущённое решение $\phi (t)$ системы (1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво по Ляпунову и является притягивающим, то есть выполняется условие $\underset{t\to \mathrm{\infty }}{\lim }\Vert x(t,t_0,x_0)-\phi (t)\Vert =0$ для любого решения $x(t)$ с начальными данными $x_0$, для которых выполняется неравенство $||x_0-\phi (t_0)||<{\delta }_0$ при некотором ${\delta }_0$.

Существуют определённые разновидности асимптотической устойчивостиШаблон:Sfn. Невозмущённое решение $\phi (t)$ системы (1) называется:

• эквиасимптотически устойчивым, если оно устойчивое и эквипритягивающее ($x(t)$ не зависит от $x_0$).
• равномерно асимптотически устойчивым, если оно равномерно устойчивое и равномерно притягивающее ($x(t)$ не зависит от $t_0$и $x_0$).
• асимптотически устойчивым в целом, если оно устойчивое и глобальнопритягивающее (отсутствует ограничение на $x_0$).
• равномерно асимптотически устойчивым в целом, если оно равномерно устойчивое и равномерно и глобальнопритягивающее.

Замечание

В качестве невозмущённого решения системы можно рассматривать тривиальное решение $x(t)\equiv 0$, что делает условия устойчивости более простыми. Для этого необходимо ввести сдвигающую замену $y=x-\phi$ и рассматривать систему

$\dot{y}=g(t,y),$

где $g(t,y)=f(t,y+\phi (t))-f(t,\phi (t)).$

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

См. также

• Теорема Лагранжа об устойчивости равновесия
• Функция Ляпунова