Оконное преобразование Фурье

Оконное преобразование Фурье — разновидность преобразования Фурье, определяемая следующим образом:

$F(t,\omega )=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(\tau )W(\tau -t)e^{-i\omega \tau }d\tau ,$

где $W(\tau -t)$ — некоторая оконная функция. В случае дискретного преобразования оконная функция используется аналогично:

$F(m,\omega )=\sum _{n=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}f[n]w[n-m]e^{-j\omega n}$

Существует множество математических формул, визуально улучшающих частотный спектр на разрыве границ окна. Для этого применяются преобразования: треугольное (Бартлетта), синус-окно, синус в кубе, синус в 4-й степени, преобразование Парзена, Уэлча, Гаусса, Хеннинга, приподнятый косинус (Хэмминга), Чебышева, с пульсациями, Розенфилда, Блэкмана-Харриса, горизонтальное и с плоской вершиной. Также существует методика по взаимному перекрытию окон, при этом обычно можно выбрать сколько семплов из предыдущего окна будет усреднено с текущим окном.

Применение

На практике нет возможности получить сигнал на бесконечном интервале, так как нет возможности узнать, какой был сигнал до включения устройства и какой он будет в будущем. Ограничение интервала анализа равносильно произведению исходного сигнала на прямоугольную оконную функцию. Таким образом, результатом оконного преобразования Фурье является не спектр исходного сигнала, а спектр произведения сигнала и оконной функции. В результате возникает эффект, называемый растеканием спектра сигнала. Опасность заключается в том, что боковые лепестки сигнала более высокой амплитуды могут маскировать присутствие других сигналов меньшей амплитуды.

Для борьбы с растеканием спектра применяют более гладкую оконную функцию, спектр которой имеет более широкий главный лепесток и низкий уровень боковых лепестков. Спектр, полученный при помощи оконного преобразования Фурье, является сверткой спектра исходного идеального сигнала и спектра оконной функции.

Искажения, вносимые применением окон, определяются размером окна и его формой. Выделяют следующие основные свойства оконных функций: ширина главного лепестка по уровню −3 дБ, ширина главного лепестка по нулевому уровню, максимальный уровень боковых лепестков, коэффициент ослабления оконной функции.

Оконное преобразование Фурье применяется в связи для синтеза частотных фильтров, например, в методе частотного мультиплексирования с множеством несущих, использующим банк (гребёнку) частотных фильтров FBMC.

Частотно-временное разрешение

При использовании оконного преобразования Фурье невозможно одновременно обеспечить хорошее разрешение по времени и по частоте. Чем уже окно, тем выше разрешение по времени и ниже разрешение по частоте.

Сравнение оконного преобразования Фурье с разными окнами. Слева (узкое окно) — хорошее разрешение по времени, справа (более широкое окно) — хорошее разрешение по частоте.

Разрешение по осям является постоянным. Это нежелательно для ряда задач, в которых информация по частотам распределена неравномерно. В таких задачах в качестве альтернативы оконному преобразованию Фурье может использоваться вейвлет-преобразование, временное разрешение которого увеличивается с частотой (частотное снижается).

Типы оконных функций

Прямоугольное окно

Прямоугольное окно; B=1.00

$w(n)=\{\begin{array}{cc}1,& n\in [0,N-1]\\ 0,& n\notin [0,N-1]\end{array}$

Получается автоматически при ограничении выборки N отсчетами. Максимальный уровень боковых лепестков частотной характеристики: −13.26 дБ. Шаблон:Clear

Окно Ханна (Хеннинга)

Окно Ханна; B = 1.50

$w(n)=0.5(1-\cos \left(\frac{2\pi n}{N-1}\right))$

где N — ширина окна. Уровень боковых лепестков: −31.5 дБ. Шаблон:Clear

Окно Хэмминга

Окно Хэмминга

$w(n)=0.53836-0.46164\cos \left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)$

Уровень боковых лепестков: −42 дБ. Шаблон:Clear

Окно Блэкмана

Окно Блэкмана; α = 0.16; B=1.73

$w(n)=a_0-a_1\cos \left(\frac{2\pi n}{N-1}\right)+a_2\cos \left(\frac{4\pi n}{N-1}\right)$

$a_0=\frac{1-\alpha }{2};a_1=\frac{1}{2};a_2=\frac{\alpha }{2}$

Уровень боковых лепестков: −58 дБ (α=0.16). Шаблон:Clear

Окно Кайзера

Окно Кайзера, α =2; B=1.5

Окно Кайзера, α =3; B=1.8

$w(n)=\frac{|I_0\left(\beta \sqrt{1-{\left(\frac{2n-N+1}{N-1}\right)}^2}\right)|}{|I_0(\beta )|}$

где $I_0$ — модифицированная функция Бесселя первого рода нулевого порядка; $\beta$ — коэффициент определяющий долю энергии, сосредоточенной в главном лепестке спектра оконной функции. Чем больше $\beta$ тем больше доля энергии, и шире главный лепесток, и меньше уровень боковых лепестков. На практике используются значения от 4 до 9. Шаблон:Clear

Реализация

Для оконного преобразования Фурье в цифровом виде может применяться не только взвешивание каждого цифрового отсчета в процессе формирования свертки, но и эквивалентное весовое суммирование откликов преобразования Фурье.

К примеру взвешивание окном Ханна (Хеннинга) и окном Хэмминга может быть представлено в виде:

$w=\frac{U_1+\beta U_2+U_3}{\beta }$,

где $U_1$, $U_2$, $U_3$ — исходные отклики преобразования Фурье, $w$ — результат оконного преобразования, $\beta =2$ соответствует окну Ханна (Хеннинга), $\beta =0.53836/0.23082$ — окну Хэмминга.

Реализация указанного взвешивания осуществляется в режиме скользящего окна по массиву откликов преобразования Фурье.

См. также

• Вейвлет-преобразование
• S-преобразование
• Функции Бесселя

Ссылки

• Некоторые оконные функции и их параметры Шаблон:Wayback
• Использование оконных функций в задачах цифрового спектрального анализа. Примеры и рекомендации Шаблон:Wayback