Теорема Планшереля

Теорема Планшереля — утверждение о свойствах преобразования Фурье. Она утверждает, что для всякой функции, квадрат модуля которой интегрируем, существует и однозначно определена с точностью до значений на множестве меры нуль функция, являющаяся её преобразованием Фурье. Была доказана Планшерелем в 1910 году. Играет важную роль в функциональном анализе.

Формулировка

Для всякой функции действительного переменного $f(x)$, принадлежащей множеству функций, чей квадрат модуля интегрируем $L^2$ на интервале $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, существует такая функция действительного переменного $g(x)$, также принадлежащая $L^2$ на интервале $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$, что

$\underset{A\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{|g(u)-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-A}{\overset{A}{\int }}f(x)e^{iux}dx|}^{2}du=0$.

Также выполняются равенства:

$\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{|g(u)|}^{2}du=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{|f(x)|}^{2}dx$

и

$\underset{A\to \mathrm{\infty }}{\lim }\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{|f(x)-\frac{1}{\sqrt{2\pi }}\underset{-A}{\overset{A}{\int }}g(u)e^{-iux}du|}^{2}dx=0$.

Функция $g(u)$, являющаяся преобразованием Фурье функции $f(x)$, однозначно определена с точностью до её значений на множестве меры нуль.

См. также

• Преобразование Фурье
• Lp (пространство)

Литература

• C. Бохнер Лекции об интегралах Фурье. — М., Физматлит, 1962. — 360 c.