Коэффициент эксцесса

Несколько распределений и их коэффициенты эксцесса. В порядке уменьшения высоты пика (значения в нуле):
распределение Лапласа;
Шаблон:Нп3;
Логистическое распределение;
Нормальное распределение;
Шаблон:Нп3;
Полукруговой закон Вигнера;
Равномерное распределение

Коэффицие́нт эксце́сса (коэффициент островершинности) в теории вероятностей — мера остроты пика распределения случайной величины.

Определение

Шаблон:Викисловарь Пусть задана случайная величина $X$, такая что $𝔼|X{|}^4<\mathrm{\infty }$. Пусть ${\mu }_4$ обозначает четвёртый центральный момент: ${\mu }_4=𝔼[(X-𝔼X{)}^4]$, а $\sigma =\sqrt{\mathrm{D}[X]}$ — стандартное отклонение $X$. Тогда коэффициент эксцесса задаётся формулой:

${\gamma }_2=\frac{{\mu }_4}{{\sigma }^4}-3$.

Замечание

• «Минус три» в конце формулы введено для того, чтобы коэффициент эксцесса стандартного нормального распределения был равен нулю. Он положителен, если пик распределения около математического ожидания острый, и отрицателен, если пик очень гладкий.

Свойства коэффициента эксцесса

• ${\gamma }_2\in [-2,\mathrm{\infty })$.
• Пусть $X_1,\dots ,X_n$ — независимые случайные величины с равной дисперсией. Пусть $Y=\sum _{i=1}^n{X}_i$. Тогда

${\gamma }_{2,Y}=\frac{1}{n^2}\sum _{i=1}^n{\gamma }_{2,X_i}$,

где ${\gamma }_{2,Y},{\gamma }_{2,X_i},i=1,\dots ,n$ — коэффициенты эксцесса соответствующих случайных величин.

См. также

• Моменты случайной величины.