Равномерное распределение

Равномерное распределение вероятностей — общее название класса распределений вероятностей, возникающего при распространении идеи «равновозможности исходов» на непрерывный случай. Подобно нормальному распределению равномерное распределение появляется в теории вероятностей как точное распределение в одних задачах и как предельное — в других.

Понятие равномерного распределения первоначально появилось для дискретного множества значений случайной величины, где это понятие интуитивно наиболее просто воспринимается и означает, что каждое из этих значений реализуется с одинаковой вероятностью. Для абсолютно непрерывной случайной величины условие равной вероятности заменяется условием постоянства функции плотности. В одномерном случае это означает, что вероятность попадания случайной величины в любой допустимый промежуток фиксированной длины одна и та же и зависит только от его длины. В результате дальнейшего обобщения понятие равномерного распределения было перенесено на многомерные распределения, а также распределения, заданные в общем виде как вероятностная мера.

Определение

Пусть $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mu )$ — пространство с мерой, где $\mathrm{\Omega }$ — множество, $ℱ$ — сигма-алгебра подмножеств $\mathrm{\Omega }$ и $\mu$ — конечная мера на $ℱ$. Тогда равномерным распределением на множестве $\mathrm{\Omega }$ относительно меры $\mu$ называется вероятностная мера $P$, удовлетворяющая равенству

$P(A)=\frac{\mu (A)}{\mu (\mathrm{\Omega })},$ $A\in ℱ$.

Важнейшие частные случаи

Дискретное равномерное распределение

Шаблон:Main Дискретное равномерное распределение — распределение, в котором случайная величина принимает конечное число значений с равными вероятностями. Множество $\mathrm{\Omega }$ (оно должно быть непустым и конечным) в этом случае является перечислимым, и мера $\mu$ определена как количество элементов множества (считающая мера).

Непрерывное равномерное распределение

Шаблон:Main Непрерывное равномерное распределение — распределение случайной величины с постоянной почти всюду на $\mathrm{\Omega }$ плотностью вероятности. В этом случае $\mathrm{\Omega }\in S^n$, где $S^n$ — борелевская сигма-алгебра подмножеств ${ℝ}^n$ ($n$ — натуральное число), $ℱ=\{A\in S^n:A\subseteq \mathrm{\Omega }\}$ и $\mu$ — лебегова мера, заданная на $(\mathrm{\Omega },ℱ)$ в пространстве $({ℝ}^n,S^n)$.