Логистическое распределение

Логисти́ческое распределе́ние в теории вероятностей и математической статистике — один из видов абсолютно непрерывных распределений. Формой напоминает нормальное распределение, но имеет более «тяжёлые» концы и больший коэффициент эксцесса.

Определение

Функция плотности

Функция плотности вероятности логистического распределения задаётся формулой:

$f(x;\mu ,s)=\frac{e^{-(x-\mu )/s}}{s{(1+e^{-(x-\mu )/s})}^2}$

$=\frac{1}{4s}{\mathrm{sech}}^2\left(\frac{x-\mu }{2s}\right).$

Альтернативная параметризация задается подстановкой ${\sigma }^2={\pi }^2{s}^2/3$. Тогда функция плотности имеет вид:

$g(x;\mu ,\sigma )=f(x;\mu ,\sigma \sqrt{3}/\pi )=\frac{\pi }{\sigma 4\sqrt{3}}{\mathrm{sech}}^2\left(\frac{\pi }{2\sqrt{3}}\frac{x-\mu }{\sigma }\right).$

Функция распределения

Кумулятивной функцией распределения является логистическая функция:

$F(x;\mu ,s)=\frac{1}{1+e^{-(x-\mu )/s}}$

$=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\tanh \left(\frac{x-\mu }{2s}\right).$

Квантили

Обратная функция к кумулятивной функции распределения ($F^{-1}$), обобщение logit-функции:

$F^{-1}(p;\mu ,s)=\mu +s\ln \left(\frac{p}{1-p}\right).$

Моменты распределения

Математическое ожидание

$𝔼[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x{e}^{-(x-\mu )/s}}{s{(1+e^{-(x-\mu )/s})}^2}dx=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x}{4s}{\mathrm{sech}}^2\left(\frac{x-\mu }{2s}\right)dx$

Подставляем: $u=\frac{(x-\mu )}{2s},du=\frac{1}{2s}dx$

$𝔼[X]=\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{2su+\mu }{2}{\mathrm{sech}}^2\left(u\right)du$

$𝔼[X]=s\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u{\mathrm{sech}}^2\left(u\right)du+\frac{\mu }{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{sech}}^2\left(u\right)du$

Справедливо равенство: $\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}u{\mathrm{sech}}^2\left(u\right)du=0$

$𝔼[X]=\frac{\mu }{2}\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{\mathrm{sech}}^2\left(u\right)du=\frac{\mu }{2}2=\mu$

Моменты высших порядков

Центральный момент n-го порядка может быть вычислен как:

$\begin{array}{cc}𝔼[(X-\mu {)}^n]& =\underset{-\mathrm{\infty }}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}(x-\mu {)}^{n}dF(x)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}(F^{-1}(p)-\mu {)}^{n}dp\\ & =s^n\underset{0}{\overset{1}{\int }}[\ln (\frac{p}{1-p}){]}^{n}dp.\end{array}$

Интеграл может быть выражен через числа Бернулли:

$𝔼[(X-\mu {)}^n]=s^n{\pi }^n(2^n-2)\cdot |B_n|.$

Литература

• N. Balakrishnan (1992). Handbook of the Logistic Distribution. Marcel Dekker, New York. ISBN 0-8247-8587-8.
• Johnson, N. L., Kotz, S., Balakrishnan N. (1995). Continuous Univariate Distributions. Vol. 2 (2nd Ed. ed.). ISBN 0-471-58494-0.