Билинейное отображение

Шаблон:Значения Шаблон:Не путать Билинейное отображение — бинарное отображение векторных пространств, линейное по каждому из двух аргументов.

Понятие обобщается до модулей над кольцом: если $V{\displaystyle }$ — левый унитарный $A$-модуль, $W{\displaystyle }$ — правый унитарный $B$-модуль, $X{\displaystyle }$ — $(A,B)$-бимодуль, то $f:V\times W\to X$ билинейно, если оно линейно по каждому из двух аргументов ($v,v^{\prime }\in V;w,w^{\prime }\in W;a\in A;b\in B$):

$f(v+v^{\prime },w)=f(v,w)+f(v^{\prime },w)$,

$f(av,w)=af(v,w)$,

$f(v,w+w^{\prime })=f(v,w)+f(v,w^{\prime })$,

$f(v,wb)=f(v,w)b$.

Эквивалентная формулировка: $f:V\times W\to X$ билинейно, если определено линейное отображение $f_1:V\to \text{Hom}(W,X)$ (или, что то же самое, определено линейное отображение $f_2:W\to \text{Hom}(V,X)$).

Билинейная форма в наиболее общем случае — билинейное отображение $V\times W\to A$, где $V$ — левый унитарный $A$-модуль, $W$ — правый унитарный $A$-модуль, а $A$ — рассматриваемое как $(A,A)$-бимодуль кольцо с единицей. Билинейная операция — линейное по обоим аргументам отображение $f:X\times X\to X$, таковыми являются умножения в алгебрах над кольцами, а также различные разновидности умножения матриц.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Из