Антиэрмитова матрица

Антиэрмитова матрица (косоэрмитова матрица) — квадратная матрица $A$, эрмитово сопряжение которой меняет знак исходной матрицы:

$A^{*}=-A$,

или поэлементно:

$a_{i,j}=-\overline{a_{j,i}}$,

где через $\bar{x}$ обозначено комплексное сопряжение числа $x$.

Свойства

Матрица $B$ эрмитова тогда и только тогда, когда матрица $iB$ антиэрмитова. Отсюда следует, что если $A$ — антиэрмитова, то матрицы $\pm iA$ эрмитовы. Также любая антиэрмитова матрица $A$ может быть представлена в виде $A=iB$, где $B$ — эрмитова. Таким образом, свойства антиэрмитовых матриц могут быть выражены при помощи свойств эрмитовых и наоборот.

Матрица $A$ антиэрмитова тогда и только тогда, когда $X^{*}{A}^{*}Y=-X^{*}AY$ для любых векторов $X$ и $Y$ (форма $X^{*}AY$ — антиэрмитова).

Антиэрмитовы матрицы замкнуты относительно сложения, умножения на вещественное число, возведения в нечётную степень, обращения (невырожденных матриц).

Антиэрмитовы матрицы являются нормальными.

Чётная степень антиэрмитовой матрицы является эрмитовой матрицей. В частности, если $A$ — антиэрмитова, то $A^2$ — эрмитова.

Собственные числа антиэрмитовой матрицы либо нулевые, либо чисто мнимые.

Любую квадратную матрицу можно представить как сумму эрмитовой и антиэрмитовой $M=M_h+M_a$, где:

$M_h=\frac{1}{2}(M+M^{*})$ — эрмитова,

$M_a=\frac{1}{2}(M-M^{*})$ — антиэрмитова.

Матрица $A$ антиэрмитова тогда и только тогда, когда её экспонента $e^A$ унитарна.

Антиэрмитовы матрицы образуют алгебру Ли $𝔲(n)$ группы Ли $U(n)$.

Для любого комплексного числа $\lambda$ такого, что $|\lambda |=1$, существует взаимно однозначное соответствие между унитарными матрицами $U$, не имеющих собственных чисел равных $a$, и антиэрмитовыми матрицами $A$, задаваемое формулами Кэли:

$U=\lambda (A-I)(A+I{)}^{-1}$,

$A=\lambda (aI+U)(aI-U{)}^{-1}$,

где $I$ — единичная матрица.

В частности, при $\lambda =-1$:

$U=(I-A)(I+A{)}^{-1}$,

$A=(I-U)(I+U{)}^{-1}$.

Ссылки

• Brookes, M., «The Matrix Reference Manual», Imperial College, London, UK