Степень простого числа

В математике степень простого числа — это простое число, возведённое в целую положительную степень.

Примеры

Числа 5 = Шаблон:Power, 9 = Шаблон:Power и 16 = Шаблон:Power являются степенями простых чисел, в то время как 6 = Шаблон:Times, 15 = Шаблон:Times и 36 = Шаблон:Power = Шаблон:Times не являются.

Двадцать наименьших степеней простых чисел:

Шаблон:Nums, …

Свойства

Алгебраические свойства

• Каждая степень простого числа делится только на одно простое число.
• Плотность распределения степеней простых чисел асимптотически эквивалентна $\pi (x)$ — плотности простых чисел с точностью до $O(\sqrt{x})$.
• Любая степень простого числа (за исключением степени 2) имеет первообразный корень. Так, мультипликативная группа целых чисел по модулю pⁿ (или, что эквивалентно, группа единиц кольца Z/pⁿZ) является циклической.
• Число элементов конечного поля всегда является степенью простого числа и обратно, любая степень простого является числом элементов некоторого конечного поля (единственного с точностью до изоморфизма).

Комбинаторные свойства

Свойство степеней простого числа, часто используемое в аналитической теории чисел, — что множество степеней простых чисел, не являющихся простыми, является Шаблон:Не переведено 5 в том смысле, что бесконечная сумма обратных им величин сходится, хотя множество простых чисел является большим множеством.

Свойства делимости

Функция Эйлера (φ) и сигма функции (σ₀) и (σ₁) от степени простого числа можно вычислить по формулам:

$\varphi (p^n)=p^{n-1}\varphi (p)=p^{n-1}(p-1)=p^n-p^{n-1}=p^n(1-\frac{1}{p}),$

${\sigma }_0(p^n)=\sum _{j=0}^n{p}^{0*j}=\sum _{j=0}^{n}1=n+1,$

${\sigma }_1(p^n)=\sum _{j=0}^n{p}^{1*j}=\sum _{j=0}^n{p}^j=\frac{p^{n+1}-1}{p-1}.$

Все степени простых чисел являются недостаточными числами. Степень простого pⁿ является n-Шаблон:Не переведено 5. Неизвестно, могут ли степени простых чисел pⁿ быть дружественными числами. Если такие числа существуют, то pⁿ должно быть больше 10¹⁵⁰⁰ и n должен быть больше 1400.

Необходимое условие

$\mathrm{\forall }a\in \mathbb{N}:\gcd (a,N)=1\Rightarrow \gcd (a^{N-1}-1,N)>1$

Пусть число $N$ является степенью простого числа $N=p^k$. Тогда $N-1$ делится на $p-1$.

По малой теореме Ферма $\mathrm{\forall }a\in \mathbb{N}:p$ не делит $a\Rightarrow a^{p-1}\equiv 1(modp)$

$a^{N-1}\equiv a^{p-1}\equiv 1(modp)\Rightarrow \gcd (a^{N-1}-1,N)=p^m>1,$ где $1⩽m⩽k$

См. также

• Точная степень
• Шаблон:Не переведено 5
• Полупростое число
• Поле Галуа

Литература

• Шаблон:Книга