Дружественные числа

Дружественные числа — пара различных натуральных чисел, для которых сумма всех собственных делителей первого числа равна второму числу и наоборот, сумма всех собственных делителей второго числа равна первому числу. То есть, пару натуральных чисел $M,N$ называют дружественной, если:

$m_1+m_2+\dots +m_k=N$,

$n_1+n_2+\dots +n_l=M$,

где $m_1,m_2,\dots m_k$ — делители числа $M$, $n_1,n_2,\dots n_l$ — делители числа $N$.

Большой важности для теории чисел эти пары не представляют, но составляют интерес для занимательной математики.

Иногда частным случаем дружественных чисел считаются совершенные числа: каждое совершенное число дружественно себе.

Если учитывать все делители, то $\sigma (M)-M=N$ или $\sigma (M)=M+N=\sigma (N)$ — другое определение дружественных чисел, эквивалентное основному. Два числа называются дружественной парой, если они имеют одинаковую сумму всех своих делителей, которая равна сумме этих чисел. Аналогично, три числа образуют дружественную тройку, если они имеют одинаковую сумму всех своих делителей, которая равна сумме этих чисел. $\sigma (M)=\sigma (N)=\sigma (K)=M+N+K$.

История

Дружественные числа были открыты последователями Пифагора; правда, им удалось найти только одну пару дружественных чисел — 220 и 284. Список делителей для 220: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 и 110, — их сумма равна 284; список делителей для 284: 1, 2, 4, 71 и 142, — и сумма равна 220.

Примерно в 850 году арабский астроном и математик Сабит ибн Курра предложил формулуШаблон:Переход для нахождения некоторых пар дружественных чисел, с её помощью были найдены две новые пары дружественных чисел:

• Шаблон:Num и Шаблон:Num;
• Шаблон:Num и Шаблон:Num.

В XVIII веке Эйлер нашёл достаточный критерий построения пар дружественных чисел, и в его списке было уже 90 пар. Однако критерий охватывает не все пары: например, пара (1184, 1210) ему не подчиняется, и её обнаружили уже в XIX веке. В XX веке компьютеры помогли найти десятки миллионов пар. Но эффективного общего способа нахождения всех таких пар нет до сих пор.

Первые пары

В Онлайн-энциклопедии целочисленных последовательностей для пар дружественных чисел ведутся несколько последовательностей; отдельно ведётся последовательность сумм чисел в каждой паре, примечательно, что все такие суммы, где слагаемые чётны, вплоть до числа $1362660800=2^6\cdot 5^2\cdot 31\cdot 83\cdot 331$ (сумма $666030256$ и $696630544$) делятся на $9$; также выделена последовательность для дружественных пар, в сумме не делящиеся на $9$.

Первые пары:

1. Шаблон:Nums (Пифагор, около 500 до н. э.);
2. Шаблон:Nums (Паганини, 1866);
3. Шаблон:Nums (Эйлер, 1747);
4. Шаблон:Nums (Эйлер, 1747);
5. Шаблон:Nums (Эйлер, 1750);
6. Шаблон:Nums (Эйлер, 1747);
7. Шаблон:Nums (Браун, 1939);
8. Шаблон:Nums (Ибн ал-Банна, около 1300; Фариси, около 1300; Ферма, 1636);
9. Шаблон:Nums (Эйлер, 1747);
10. Шаблон:Nums (Эйлер, 1750);
11. Шаблон:Nums (Эйлер, 1747);
12. Шаблон:Nums (Эйлер, 1747);
13. Шаблон:Nums (Рольф, 1964).

Способы построения

Формула Сабита ибн Курры

Если для натурального числа $n>1$ все три числа:

$p=3\times 2^{n-1}-1$,

$q=3\times 2^n-1$,

$r=9\times 2^{2n-1}-1$,

являются простыми, то числа $2^{n}pq$ и $2^{n}r$ образуют пару дружественных чисел.

Эта формула даёт пары (220, 284), (Шаблон:Num, Шаблон:Num) и (Шаблон:Num, Шаблон:Num) соответственно для $n=2,4,7$, но больше никаких пар дружественных чисел, которые могли бы быть получены по этой формуле для $n<20000$, не существует.

Формула Эйлера

Эйлер расширил формулу ибн Курры — если для натуральных $n>m$ все три числа:

$p=(2^{n-m}+1)\times 2^m-1$,

$q=(2^{n-m}+1)\times 2^n-1$,

$r=(2^{n-m}+1{)}^2\times 2^{m+n}-1$,

являются простыми, то числа $2^{n}pq$ и $2^{n}r$ образуют пару дружественных чисел. Формула ибн Курры получается из формулы Эйлера подстановкой $m=n-1$. Формула Эйлера добавила к списку дружественных чисел всего 2 пары: $(m,n)=(1,8),(29,40)$.

Метод Вальтера Боро

Если для пары дружественных чисел вида $A=au$ и $B=as$ числа $s$ и $p=u+s+1$ являются простыми, причём $a$ не делится на $p$, то при всех натуральных $n$, при которых оба числа $q_1=(u+1)p^{n+1}-1$ и $q_2=(u+1)(s+1)p^n-1$ просты, числа $B_1=A{p}^n{q}_1$ и $B_2=a{p}^n{q}_2$ — дружественные.

Открытые проблемы

Неизвестно, конечно ли или бесконечно количество пар дружественных чисел. Шаблон:На известно более Шаблон:Num дружественных чисел. Все они состоят из чисел одинаковой чётности.

Неизвестно, существует ли чётно-нечётная пара дружественных чисел.

Также неизвестно, существуют ли взаимно простые дружественные числа, но если такая пара дружественных чисел существует, то их произведение должно быть больше Шаблон:Power.

Проект BOINC

30 января 2017 года запущен проект распределённых вычислений на платформе BOINC — Amicable Numbers. Поиск дружественных чисел осуществляется как с помощью расчётов на процессоре, так и на видеокарте.

Ссылки

• Шаблон:Статья Шаблон:Wayback
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Шаблон:MathWorld
• Amicable Numbers  — проект BOINC по поиску дружественных чисел.

Шаблон:Числа по характеристикам делимости Шаблон:Внешние ссылки