Вложение Куратовского

Вложение Куратовского — определённое изометрическое вложение метрического пространства в банахово пространство непрерывных ограниченных функций на нём.

Построение

Пусть $X$ есть метрическое пространство и $p\in X$. Обозначим через $dis{t}_x:X\to ℝ$ функцию расстояния от $x$ в $X$. Обозначим через $C_b(X)$ банахово пространство ограниченных непрерывных функций и нормой супремума, тогда изометрическое вложение

${\mathrm{\Phi }}_p:X\to C_b(X)$

определённое как

${\mathrm{\Phi }}_p(x)=dis{t}_x-dis{t}_p$

называется вложением Куратовского.

Замечания

• В случае если $X$ имеет конечный диаметр, отображение ${\mathrm{\Phi }}_p:X\to C_b(X)$,

  $\mathrm{\Phi }(x)=dis{t}_x$

также называется вложением Куратовского.

История

Отображение впервые рассмотрено Куратовским в 1935 году, однако практически такое же вложение с незначительной вариацией фигурировало в статье Фреше 1910 года.

Применения

• Аналог вложения Куратовского даёт возможность рассматривать все компактные метрические пространства как подмножества одного универсального пространства. Этот факт используется в одном из определений сходимости по Громову — Хаусдорфу.