Нормирование (алгебра)

Шаблон:Значения Шаблон:Перенаправление Шаблон:Не путать Норми́рование — отображение элементов поля $F$ или целостного кольца в некоторое упорядоченное поле $P$ $x\mapsto \Vert x\Vert$, обладающее следующими свойствами:

1) $\Vert x\Vert ⩾0$ и $\Vert x\Vert =0$ только при $x=0$

2) $\Vert xy\Vert =\Vert x\Vert \cdot \Vert y\Vert$

3) $\Vert x+y\Vert ⩽\Vert x\Vert +\Vert y\Vert$

Если вместо 3) выполняется более сильное условие:

3a) $\Vert x+y\Vert ⩽\max (\Vert x\Vert ,\Vert y\Vert )$, то нормирование называется неархимедовым.

Значение $\Vert x\Vert$ называется нормой элемента $x$. Если упорядоченное поле $P$ является полем вещественных чисел $ℝ$, то нормирование часто называют абсолютным значением.

Нормы $\Vert \cdot {\Vert }_1$ и $\Vert \cdot {\Vert }_2$ называются эквивалентными, если $\Vert x{\Vert }_1<1$ равносильно $\Vert x{\Vert }_2<1$.

Примеры нормирований

• Нормирование, при котором $\Vert 0\Vert =0$, $\Vert x\Vert =1$ для остальных $x$. Такое нормирование называется тривиальным.
• Обычная абсолютная величина в поле вещественных чисел $ℝ$ и модуль в поле комплексных чисел $ℂ$ являются нормированием.
• Пусть $\mathbb{Q}$ — поле рациональных чисел, а $p$ — некоторое простое число. Любое рациональное число можно представить в виде дроби $x=p^n\frac{a}{b}$, где $a$ и $b$ не кратны $p$. Можно определить следующее нормирование $|x{|}_p=p^{-n}$. Это нормирование является неархимедовым и называется p-адическим нормированием.

Согласно Шаблон:Iw, любая нетривиальная норма на $\mathbb{Q}$ эквивалентна либо абсолютной величине $|x|$, либо р-адическому нормированию.

Свойства нормы

• $|1|=|-1|=1$
• Для вещественнозначного нормирования выполняется свойство $||x|-|y||⩽|x-y|$ (здесь предполагается, что на поле вещественных чисел задана обычная норма - модуль числа)
• Вещественнозначное нормирование является неархимедовым тогда и только тогда, когда существует положительное число $A$, такое, что для любой суммы единичных элементов поля $F$:

3b) $\Vert 1+1+...+1\Vert ⩽A$

Пусть данное условие выполнено. Тогда для любых элементов $x$ и $y$ из поля $F$ имеем:

$|(x+y{)}^n|=|x^n+\dots +C_n^i{x}^{n-i}{y}^i+\dots +y^n|⩽(n+1)A[\max (|x|,|y|){]}^n$

Извлекая из обеих частей корень и переходя к пределу при $n\to \mathrm{\infty }$, получаем условие 3a).Шаблон:Нет АИ Обратное утверждение очевидно.Шаблон:Нет АИ

Нормированное поле как метрическое пространство

Из свойств 1-3 немедленно следует, что, определяя расстояние между двумя элементами вещественнозначного нормированного поля $F$ как норму разности $\Vert x-y\Vert$, мы превращаем его в метрическое пространство, в случае неархимедовой нормы — в ультраметрическое пространство. Разные нормы определяют разные метрики. Эквивалентные нормы определяют одинаковую топологию в $F$.

Пополнение

Как и для любого метрического пространства, можно ввести понятие полноты и доказать, что любое нормированное поле $F$ изоморфно вкладывается в полное нормированное поле $F^{*}$, то есть существует изоморфизм $i:F\to F^{*}$. Норма в $F^{*}$ продолжает норму в $F$, то есть для каждого $x$ из $F$: $\Vert i(x){\Vert }_{F^{*}}=\Vert x\Vert$, причём $F$ плотно в $F^{*}$ относительно этой нормы. Любое такое поле $F^{*}$ определено однозначно с точностью до изоморфизма, сохраняющего нормы (изометрии) и тождественного на $F$; оно называется пополнением поля $F$.

Пример. Пополнением поля рациональных чисел $\mathbb{Q}$ с p-адической метрикой является поле p-адических чисел ${\mathbb{Q}}_p$.

Экспоненциальное нормирование

Пусть $v$ — отображение из мультипликативной группы поля $K^{*}$ в некоторую вполне упорядоченную абелеву группу, такое, что

1) $v(xy)=v(x)+v(y)$

2) $v(x+y)⩾\min (v(x),v(y))$

Удобно также доопределить эту функцию в нуле: $v(0)=\mathrm{\infty }$. Групповая операция на $\mathrm{\infty }$ определена следующим образом: $a+\mathrm{\infty }=\mathrm{\infty }+a=\mathrm{\infty }$ для любого $a$, $\mathrm{\infty }$ упорядочена таким образом, чтобы быть больше всех элементов первоначальной группы. При этом свойства 1) и 2) остаются верными.

В терминологии Бурбаки функция с такими свойствами называется нормированием. Также термин «нормирование» для такой функции используют Атья и Макдональд и Ленг. Однако некоторые авторы оставляют термин «нормирование» для функции, обладающей свойствами, перечисленными в начале этой статьи, а нормирование в терминах Бурбаки называют экспоненциальным нормированием. Область значений отображения $v$ называют группой нормирования, а множество тех элементов $x$ поля $K$, для которых $v(x)⩾0$ — кольцом нормирования (обозначение — $R_v$), нетрудно проверить, что оно действительно является кольцом.

Дискретное нормирование — это экспоненциальное нормирование, являющееся отображением в аддитивную группу целых чисел. В этом случае кольцо нормирования называется кольцом дискретного нормирования.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга