Гиперметрическое пространство

Гиперметрическое пространство — метрическое пространство с определёнными дополнительными условиями на метрику.

Определение

Гиперметрическое пространство — метрическое пространство в котором выполнены гиперметрические неравенства. То есть,

$\sum _{i<j}{b}_i\cdot b_j\cdot |x_i-x_j|\le 0$

для любых точек $x_1,\dots ,x_n$ и целых чисел $b_1,\dots ,b_n$ таких, что $\sum b_i=1$.

Замечания

• При $b_1=b_2=1$ и $b_3=-1$, гиперметрическое неравенство преврящается в обычное неравенство треугольника

  $|x_1-x_2|-|x_1-x_3|-|x_2-x_3|\le 0.$

Примеры

• ${\ell }_1$-пространство и его подпространства.
  • Любое 6-точечное гиперметрическое пространство вкладывается в ${\ell }_1$.
  • Существуют примеры 7-точечных гиперметрических пространств которые не вкладываются в ${\ell }_1$. Такова например метрика на полном графе $K_7$ без двух смежных рёбер.

• Пусть $Y$ — семейство измеримых подмножеств пространства $X$ с мерой $\mu$. Если метрика на $Y$ задана как

  $|A-B{|}_Y=\mu (A\mathrm{△}B)=\mu ((A\cup B)\setminus (A\cap B)),$

то $Y$ является гиперметрическим пространством.