Ультрапредел

Ультрапредел — конструкция, позволяющая определить предел для широкого класса математических объектов. В частности, она работает для числовых последовательностей и последовательностей точек в метрическом пространстве, допускает обобщения на последовательности  метрических пространств и последовательности функций на них.

Эта конструкция использует существование неглавного ультрафильтра, доказательство которого в свою очередь использует аксиому выбора.

После выбора неглавного ультрафильтра, ультрапредел даёт канонический выбор частного предела последовательности, и, таким образом, позволяет избежать многократного перехода к подпоследовательности.

Неглавный ультрафильтр

Напомним, что ультрафильтр $\omega$ на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$ — это множество подмножеств множества $\mathbb{N}$, которое замкнуто относительно операции пересечения и перехода к надмножеству, и для любого подмножества $X\subset \mathbb{N}$ оно содержит либо $X$, либо дополнение $\mathbb{N}\mathrm{\setminus }X$.

Ультрафильтр называется неглавным, если он не содержит конечных множеств.

Определения

Далее $\omega$ — неглавный ультрафильтр на множестве натуральных чисел $\mathbb{N}$.

Ультрапредел точек

Если $(x_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ — последовательность точек в метрическом пространстве $M$, то точка $x_{\omega }\in M$ называется $\omega$-пределом $(x_n)$, если для каждого $\epsilon >0$ подмножество

$\{n\in \mathbb{N}\mid d(x_n,x_{\omega })⩽\epsilon \}$

содержится в $\omega$.

В этом случае пишут и обозначается $x_{\omega }=\underset{n\to \omega }{\lim }{x}_n$ или $x_n\to x_{\omega }$ при $n\to \omega$.

Ультрапредел пространств

Пусть $(M_n{)}_{n\in \mathbb{N}}$ — последовательность метрических пространств. Рассмотрим всевозможные последовательности точек $x_n\in M_n$. Для двух таких последовательностей определим расстояние как

$|(x_n)-(y_n)|=\underset{n\to \omega }{\lim }|x_n-y_n{|}_{M_n}.$

Функция $((x_n),(y_n))\mapsto |(x_n)-(y_n)|$ является псевдометрикой со значениями в $[0,\mathrm{\infty }]$. Соответствующее $\mathrm{\infty }$-метрическое пространство $M_{\omega }$ называется $\omega$-пределом последовательности $M_n$.

В этом случае пишут и обозначается $M_{\omega }=\underset{n\to \omega }{\lim }{M}_n$ или $M_n\to M_{\omega }$ при $n\to \omega$.

Ультрастепень

Ултрапредел постоянной последовательности метрических пространств $M_n=M$ для ултрафильтра $\omega$ также называется ултрастепенью, $\omega$-степенью, ультрапополнением или $\omega$-пополнением. Обычно $\omega$-степень $M$ обозначается $M^{\omega }$.

$M^{\omega }$ совпадает с $M$ только если $M$ — компактно.

Свойства

• Если $\omega$-предел последовательности точек существует, то он единственный.
• Если метрическое пространство компактно, то $\omega$-предел любой последовательности точек существует и единственный.
  • В частности, любая ограниченная последовательность вещественных чисел имеет вполне определённый $\omega$-предел в $ℝ$.
• $\omega$-предел последовательности является её частичным пределом.
  • В частности, если $x=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}_n$, то и в стандартном смысле $x=\underset{n\to \omega }{\lim }{x}_n$.
• Ультрапредел последовательности может отличаться от ультрапредела подпоследовательности.
• Равенство

  $f(\underset{n\to \omega }{\lim }{x}_n)=\underset{n\to \omega }{\lim }f(x_n)$

выполняется для произвольной непрерывной функции $f$, определённой в точке $x_{\omega }=\underset{n\to \omega }{\lim }{x}_n$.

• В частности:

  $\underset{n\to \omega }{\lim }(x_n+y_n)=\underset{n\to \omega }{\lim }{x}_n+\underset{n\to \omega }{\lim }{y}_n$

  $\underset{n\to \omega }{\lim }(x_n\cdot y_n)=(\underset{n\to \omega }{\lim }{x}_n)\cdot (\underset{n\to \omega }{\lim }{y}_n)$

См. также

• Ультрафильтр

Литература

• M. Gromov. Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces. Progress in Mathematics vol. 152, Birkhäuser, 1999. Шаблон:Isbn; Ch. 3.
• Шаблон:Cite arXiv