Список пределов

Это список пределов и правил их вычисления для основных функций. В перечисленных ниже примерах a и b являются константами относительно x.

Общие свойства пределов

Пусть $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=L_1$ и $\underset{x\to c}{\lim }g(x)=L_2$. Тогда:

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)\pm g(x)]=L_1\pm L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }[f(x)g(x)]=L_1\times L_2$

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L_1}{L_2}$, если $L_2\ne 0$

$\underset{x\to c}{\lim }f(x{)}^a=L_1^a$, если число в правой части и все значения левой функции в окрестности т. x=c существуют.

$\underset{x\to c}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\underset{x\to c}{\lim }\frac{f^{\prime }(x)}{g^{\prime }(x)}$, если $\underset{x\to c}{\lim }f(x)=\underset{x\to c}{\lim }g(x)=0$, или $\underset{x\to c}{\lim }|g(x)|=+\mathrm{\infty }$ (Правило Лопиталя)

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=f^{\prime }(x)$ (определение производной)

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(x+h)}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{f^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

$\underset{h\to 0}{\lim }{\left(\frac{f(e^{h}x)}{f(x)}\right)}^{\frac{1}{h}}=\exp \left(\frac{x{f}^{\prime }(x)}{f(x)}\right)$

Пределы, связанные с известными константами

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1+\frac{1}{x})}^x=e$ (константа Непера) — Второй замечательный предел

$\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }{(1-\frac{1}{x})}^x=\frac{1}{e}$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{n}{\sqrt[n]{n!}}=e$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }{2}^n\underset{n}{\underbrace{\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\text{...}+\sqrt{2}}}}}}=\pi$ (пи), а если заменить самый внутренний радикал $\sqrt{2}$ на $\sqrt{3}$, то предел получится равным $\frac{2\pi }{3}$

Простые функции

$\underset{x\to c}{\lim }P(x)=P(c)$, где $P(x)$ — многочлен.

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{1}{x^r}=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{1}{x^r}=-\mathrm{\infty }$, если r нечётно, и $+\mathrm{\infty }$, если r чётно.

Логарифмические и показательные функции

При $a>1:$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{\log }_{a}x=-\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{\log }_{a}x=+\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=+\mathrm{\infty }$

Тригонометрические функции

$\underset{x\to a}{\lim }\sin x=\sin a$

$\underset{x\to a}{\lim }\cos x=\cos a$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1$ — Первый замечательный предел

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x}=0$

$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}$

$\underset{x\to n\pm 0}{\lim }\mathrm{tg}(\pi x+\frac{\pi }{2})=\mp \mathrm{\infty }$, если n — целое число.

Пределы в окрестности бесконечности

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }a/x=0$, при любом вещественном a.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x/a=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>0\\ -\mathrm{\infty },& a<0\end{array}$ и не существует при $a=0$.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{x}^a=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>0\\ 1,& a=0\\ 0,& a<0\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^x=\{\begin{array}{cc}\mathrm{\infty },& a>1\\ 1,& a=1\\ 0,& -1<a<1\end{array}$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }{a}^{-x}=\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }1/a^x=0$ при любом $a>1$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[x]{a}=\{\begin{array}{cc}1,& a>0\\ 0,& a=0\end{array}$ и не существует, если $a<0$.

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[a]{x}=\mathrm{\infty }$ при любом $a>0$

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }\log x=\mathrm{\infty }$

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\log x=-\mathrm{\infty }$