Теорема о двух милиционерах

Графики функций $y=x^2$, $y=x^2\sin \frac{1}{x}$ и $y=-x^2$

Теорема о двух милиционерах — теорема в математическом анализе о существовании предела у функции, которая «зажата» между двумя другими функциями, имеющими одинаковый предел. Формулируется следующим образом:

Также такое название имеет аналогичная теорема о пределе последовательностей, формулирующаяся следующим образом:

Доказательство

Из неравенства $\phi (x)⩽f(x)⩽\psi (x)$ получаем неравенство $\phi (x)-A⩽f(x)-A⩽\psi (x)-A$. Условие $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\phi (x)=A=\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}\psi (x)$ позволяет сказать, что для любого $\epsilon >0$ существует окрестность $U_a$, в которой верны неравенства $|\phi (x)-A|<\epsilon$ и $|\psi (x)-A|<\epsilon$. Из изложенных выше неравенств следует, что $|f(x)-A|<\epsilon$ при $x\in U_a$, что удовлетворяет определению предела, то есть $\lim {\mathrm{\backslash limits}}_{x\to a}f(x)=A$.

Название и зарубежная терминология

Название теоремы происходит из того факта, что если два милиционера под руки ведут задержанного в участок, то он вынужден идти вместе с ними.

В разных странах эта теорема называется по-разному. Теорема сжатия, теорема о промежуточной функции, теорема о двух карабинерах, теорема о сэндвиче (или правило сэндвича), теорема о трёх струнах, теорема о двух жандармах, теорема о двух городовых и пр.

См. также

• Предел последовательности
• Предел функции

Ссылки

• Обсуждение названия теоремы в разных странах